【新高考复习】考向27 等差数列及其前n项和（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高

考向27等差数列及其前n项和1．（2021·全国高考真题）记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，若35244,aSaaS．（1）求数列na的通项公式na；（2）求使nnSa成立的n的最小值．【答案】(1)26nan；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得3a的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535Sa，则：3335,0aaa，设等差数列的公差为d，从而有：22433aaadadd，41234333322Saaaaadadaadd，从而：22dd，由于公差不为零，故：2d，数列的通项公式为：3326naandn.(2)由数列的通项公式可得：1264a，则：214252nnnSnnn，则不等式nnSa即：2526nnn，整理可得：160nn，解得：1n或6n，又n为正整数，故n的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.2．（2021·全国高考真题）已知数列na满足11a，11,,2,.nnnanaan为奇数为偶数（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式；（2）求na的前20项和.【答案】（1）122,5bb；（2）300.【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13nnbb，从而可求nb的通项.（2）根据题设中的递推关系可得na的前20项和为20S可化为2012910210Sbbbb，利用（1）的结果可求20S.【详解】（1）由题设可得121243212,1215baabaaa又22211kkaa，2122kkaa，*()kN故2223kkaa，即13nnbb，即13nnbb所以nb为等差数列，故21331nbnn.（2）设na的前20项和为20S，则2012320Saaaa，因为123419201,1,,1aaaaaa，所以20241820210Saaaa1291091021021023103002bbbb.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.3.判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．(2)等差中项若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝a＋b2.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋nn－2d或Sn＝na1＋an2.【知识拓展】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，Snn为等差数列．1．（2021·海南高三）设数列na的前n项和为nS，若213nnnaSS3n，且21a，33a，则2021a（）A．4041B．4039C．2021D．20192．（2021·赤峰二中高三（理））若等差数列{an}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则数列{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（）A．4B．5C．6D．73．（2021·嘉峪关市第一中学高三（理））设nS是等差数列na的前n项和，若12a，512S，则6a_____________．4．（2021·黑龙江实验中学（文））在数列na中12a，23a，34a，3112nnnaa，记nS是数列na的前n项和，则80S___________.1．（2021·黑龙江实验中学（文））等差数列na的前15项和1530S，则789aaa（）A．-2B．6C．10D．142．（2021·云南曲靖·（文））在等差数列na中，若5689400aaaa，则数列na的前13项和13S=（）A．5200B．2600C．1500D．13003．（2021·江西省铜鼓中学高二开学考试（理））已知等差数列na且35710133248aaaaa，则数列na的前13项之和为（）A．24B．39C．104D．524．（2021·福建莆田·高三）已知等差数列na满足3681112aaaa，则463aa的值为（）A．6B．6C．12D．125．（2022·全国高三专题练习（文））已知数列na中，24a，mnmnaaa，则11121319aaaa（）A．95B．145C．270D．5206．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知数列{}na的前n项和为nS，11a，121nnnSSa，数列12{}nnnaa的前n项和为*,nTnN，则下列选项正确的为（）A．数列{1}na是等差数列B．数列{1}na是等比数列C．数列{}na的通项公式为21nnaD．1nT7．（2021·江苏省前黄高级中学高三）设等差数列na的前n项和为nS，公差为d．已知312a，100S，60a，则（）A．数列nnSa的最小项为第6项B．2445dC．50aD．0nS时，n的最大值为58．（2021·嘉峪关市第一中学（文））在等比数列na中，13a，512a，32a成等差数列，则97aa_______.9．（2021·浙江高三）已知a，b，c成等差数列，点1,0P到直线:0laxbyc的距离为22，则直线l的倾斜角是______.10．（2021·全国高三）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2.（1）若数列{an}是等差数列，求公差d及前n项和Sn；（2）若数列{an}是等比数列，求公比q及前n项和Tn.11．（2021·海南高三）已知等差数列na满足2311aa，536aa．（Ⅰ）求na的通项公式;（Ⅱ）设等比数列nb满足22ba，36ba，则nb的前7项之和与数列na的第几项相等？参考数据：644096，7416384．12．（2021·全国高三（理））在等差数列na中，13a，其前n项和为nS，各项均为正数的等比数列nb中，11b，且满足23bS，12110aab．（1）求数列na与nb的通项公式；（2）若数列1nS的前n项和为nT，证明：23nT．1．（2021·北京高考真题）na和nb是两个等差数列，其中15kkakb为常值，1288a，596a，1192b，则3b（）A．64B．128C．256D．5122．（2021·北京高考真题）数列na是递增的整数数列，且13a，12100naaa，则n的最大值为（）A．9B．10C．11D．123．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，11ad．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，nN，下列等式不可能．．．成立的是（）A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．2428aaaD．2428bbb4．（2021·江苏高考真题）已知等比数列na的公比为q，且116a，24a，3a成等差数列，则q的值是___________.5．（2020·海南高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．6．（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．7．（2021·全国高考真题（文））设na是首项为1的等比数列，数列nb满足3nnnab．已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求na和nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na和nb的前n项和．证明：2nnST．8．（2021·山东高考真题）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员．9．（2021·天津高考真题）已知na是公差为2的等差数列，其前8项和为64．nb是公比大于0的等比数列，1324,48bbb．（I）求na和nb的通项公式；（II）记2*1,nnncbbnN，（i）证明22nncc是等比数列；（ii）证明*112222nkkkkkanNcac10．（2021·全国高考真题（理））记nS为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb．（1）证明：数列nb是等差数列;（2）求na的通项公式．11．（2021·全国高考真题（文））记nS为数列na的前n项和，已知210,3naaa，且数列nS是等差数列，证明：na是等差数列.1．【答案】B【分析】根据数列na与nS的关系，可得数列na从第2项开始是等差数列，根据通项公式，即可求解2021a.【详解】由213nnnaSS3n得123nnnaSS3n，即112nnnaaa3n，所以数列na从第2项开始是等差数列，又因为21a，33a，所以23nan2n，所以20214039a．故选：B2．【答案】C【分析】计算得到13+2nan，610a，710a，得到答案.【详解】5a是2a与6a的等比中项，故2526aaa，即2111+42+12+52aaa，解得111a.故13+2nan，所以610a，710a，故6S最小.故选：C.3．【答案】3【分析】根据等差数列的前n项和公式，用1,ad表示5S，可求解d，结合615aad，可得解【详解】由题意，根据等差数列的前n项和公式51545122Sad，又12a0.2d615213aad故答案为：34．【答案】1720【分析】根据数列的递推公式，分n为奇数和n为偶数，两种情况讨论，分别求得奇数项和偶数项的和，即可求解.【