第2讲参数方程1.(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy中,曲线C:x=2cosα+1,y=2sinα+1(α为参数),在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsinθ+ρcosθ=m.(1)若m=0时,判断直线l与曲线C的位置关系;(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为22,求实数m的取值范围.解(1)曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,是一个圆;直线l的直角坐标方程为x+y=0,圆心C到直线l的距离为d=|1+1|12+12=2=r,所以直线l与圆C相切.(2)由已知可得,圆心C到直线l的距离为d=|1+1-m|12+12≤322,解得-1≤m≤5.所以实数m的取值范围为[-1,5].2.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=4cosθ,y=4sinθ(θ为参数),直线l经过点P(1,2),倾斜角α=π6.(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程;(2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.解(1)由x=4cosθ,y=4sinθ,消去θ,得圆C的普通方程为x2+y2=16.又直线l过点P(1,2),且倾斜角α=π6.所以l的参数方程为x=1+tcosπ6,y=2+tsinπ6.即x=1+32t,y=2+12t(t为参数).(2)把直线l的参数方程x=1+32t,y=2+12t代入x2+y2=16,得1+32t2+2+12t2=16,t2+(3+2)t-11=0,所以t1t2=-11.由参数方程的几何意义,|PA|·|PB|=|t1t2|=11.3.(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是x=tcosα,y=tsinα(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos2α-44.由|AB|=10得cos2α=38,tanα=±153.所以l的斜率为153或-153.4.以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数,0<α<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.解(1)由ρsin2θ=4cosθ得(ρsinθ)2=4ρcosθ,∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)将直线l的参数方程代入y2=4x得到t2sin2α-4tcosα-4=0.设A,B两点对应的参数分别是t1,t2,则t1+t2=4cosαsin2α,t1t2=-4sin2α.∴|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4sin2α≥4,当α=π2时取到等号.∴|AB|min=4,即|AB|的最小值为4.5.(2014·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈0,π2.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为x=1+cost,y=sint(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cost,sint),由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD与l的斜率相同,tant=3,t=π3.故D的直角坐标为1+cosπ3,sinπ3,即32,32.6.(2017·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cosα,y=sinα(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsinθ-π4=2.(1)求C的普通方程和l的倾斜角;(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.解(1)由x=3cosα,y=sinα消去参数α,得x29+y2=1,即C的普通方程为x29+y2=1.由ρsinθ-π4=2,得ρsinθ-ρcosθ=2,(*)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(*),化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为π4.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为x=tcosπ4,y=2+tsinπ4(t为参数),即x=22t,y=2+22t(t为参数),代入x29+y2=1并化简,得5t2+182t+27=0,Δ=(182)2-4×5×27=108>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-1825<0,t1t2=275>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=1825.