函数的单调性与最值(含例题详解)

函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)f(x2)．2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1fx等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2)B．y＝－x＋1C．12xyD．y＝x＋1x解析：选A选项A的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为______；f(x)max＝________.解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.答案：[1,4]8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．[练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1xB．y＝e－xC．y＝－x2＋1D.y＝lg|x|答案：C2．函数f(x)＝1x2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15110三、考点精练考点一求函数的单调区间1、函数5log21fxx的单调增区间是________．解析：要使5log21yx有意义，则210x，即12x，而5logyu为0,上的增函数，当12x时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是1,2.答案：1,22．函数y＝x－|1－x|的单调增区间为________．解析：y＝x－|1－x|＝1,121,1xxx作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．答案：(－∞，1]3．设函数y＝f(x)在,内有定义．对于给定的正数k，定义函数,,kfxfxkfxkfxk取函数2xfx，当k＝12时，函数kfx的单调递增区间为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析：选C由f(x)12，得－1x1.由f(x)≤12，得x≤－1或x≥1.所以122,11,1122,1xxxfxxx，故12fx的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即：(1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二函数单调性的判断[典例]试讨论函数0kfxxkx的单调性．[解]法一：由解析式可知，函数的定义域是,00,．在(0，＋∞)内任取1x，2x，令12xx，那么122121212121211211xxkkkfxfxxxxxkxxxxxxxx因为120xx，所以210xx，120xx.故当12,,xxk时，12fxfx，即函数在,k上单调递增．当12,0,xxk时，12fxfx，即函数在0,k上单调递减．考虑到函数0kfxxkx是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在,k单调递增，在,0k上单调递减．综上，函数f(x)在,k和,k上单调递增，在,0k和0,k上单调递减．[解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．[针对训练]判断函数g(x)＝－2xx－1在(1，＋∞)上的单调性．解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，则12121212122221111xxxxgxgxxxxx，由于1x1x2，所以x1－x20，(x1－1)(x2－1)0，因此g(x1)－g(x2)0，即g(x1)g(x2)．故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．考点三函数单调性的应用角度一求函数的值域或最值1．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1x2，则x1－x20，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵当x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0解析：选B∵函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)f(2)＝0，即f(x1)0，f(x2)0.角度三解函数不等式3．已知函数2243,023,0xxxfxxxx则不等式f(a2－4)f(3a)的解集为()A．(2,6)B．(－1,4)C．(1,4)D．(－3,5)解析：选B作出函数f(x)的图像，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的．由f(a2－4)f(3a)，可得a2－43a，整理得a2－3a－40，即(a＋1)(a－4)0，解得－1a4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四求参数的取值范围或值4．已知函数2,211,22xaxxfxx满足对任意的实数12xx，都有12120fxfxxx成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)B.13,8C．(－∞，2]D.13,28解析：选B函数f(x)是R上的减函数，于是有22012212aa，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是13,8.[解题通法]1．含“f”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：f(x)对称轴x＝a，当a≤1时f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴“a＝1”为f(x)在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数224,04,0xxxfxxxx，若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C解析：由题知f(x)在R上是增函数，由题得2－a2a，解得－2a1.3．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．7答案：C解析：由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]答案：D解析:f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0a≤1.5．已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x20，x2＋x30，x3＋x10，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0B．一定小于0C．等于0D．正负都有可能答案：A解析：∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．又∵x1＋x20，x2＋x30，x3＋x10，∴x1－x2，x2－x3，x3－x1.又∵f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，f(x2)f(－x3)＝－f(x3)，f(x3)f(－x1)＝－f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)－f(x2)－f(x3)－f(x1)．∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)0.]二、填空题6．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．7．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝1fx是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数．答案：[0，32]解析：