数学-2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）（解析版）

2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若ii47iz，则复数z的虚部为（）A．-5B．5C．7D．-7【答案】A【解析】依题意，47ii4i7i75iiz，故z的虚部为-5.故选：A2．已知集合|240Axx，|lg1Bxx，则AB（）A．|2xxB．|10xxC．|02xxD．|0xx或2x【答案】C【解析】由已知可得，|2Axx，解lg1x可得，010x，所以|010Bxx，所以，|02ABxx.故选：C.3．设5250125(21)xaaxaxax，则125aaa（）A．2B．1C．1D．2【答案】D【解析】令0x，所以5011a，令1x，所以2515011aaaa，所以125112aaa，故选：D.4．设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（）A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线【答案】D【解析】对于A：内有无数条直线与平推不出∥，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误；对于B：，垂直于同一平面，得到∥或与相交，故B错误；对于C：，平行于同一条直线，得到∥或与相交，故C错误；对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得∥，故：D正确．故选：D5．已知双曲线22:142xy的左右焦点分别为12,FF，过1F的直线分别交双曲线的左右两支于,AB两点，且22FABFBA，则2BF（）A．54B．254C．25D．5【答案】C【解析】由双曲线22:142xy得出2,2,6abc.因为22FABFBA，所以22FAFB.作2FCAB于C，则C是AB的中点.设22FAFBx，则由双曲线的定义211222,FAFAaFBFBa，可得114,4,8FAxFBxAB.故2124cosCBBFxFBF，又由余弦定理得222221cos42644244FBFxxxxxxxx，所以24444xxxxx，解得25x.故选：C6．记nS为数列na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：{}nSn为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】方法1，甲：na为等差数列，设其首项为1a，公差为d，则1111(1)1,,222212nnnnSSSnnndddSnadadnannn，因此{}nSn为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nSn为等差数列，即111(1)1(1)(1)nnnnnnSSnSnSnaSnnnnnn为常数，设为t，即1(1)nnnaStnn，则1(1)nnSnatnn，有1(1)(1),2nnSnatnnn，两式相减得：1(1)2nnnananatn，即12nnaat，对1n也成立，因此na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：na为等差数列，设数列na的首项1a，公差为d，即1(1)2nnnSnad，则11(1)222nSnddadnan，因此{}nSn为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nSn为等差数列，即11,(1)1nnnSSSDSnDnnn，即1(1)nSnSnnD，11(1)(1)(2)nSnSnnD，当2n时，上两式相减得：112(1)nnSSSnD，当1n时，上式成立，于是12(1)naanD，又111[22(1)]2nnaaanDanDD为常数，因此na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C7．已知函数,1,()πsin,1,2xxfxxx则下列结论正确的是（）．A．0xR，00()()fxfxB．xR，()()fxfxC．函数()fx在ππ,22上单调递增D．函数()fx的值域是[1,1]【答案】D【解析】作出函数()fx的图象，由图可知函数()fx是奇函数，即对xR，()()fxfx，故A错误；当2x时，满足(2)(2)0ff，此时xR，()()fxfx不成立，故B项错误；函数()fx在π,12上是减函数，在(1,1)上是增函数，在π1,2上是减函数，故C项错误；函数()fx的值域是[1,1]，故D项正确．故选D．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O的半径为3，直线1l，2l互相垂直，垂足为(1,5)M，且1l与圆O相交于A，C两点，2l与圆O相交于B，D两点，则四边形ABCD的面积的最大值为（）A．10B．12C．13D．15【答案】B【解析】设圆心到直线1l的距离为1d，圆心到直线2l的距离为2d，直线1l，2l互相垂直，垂足为(1,5)M，22212||6ddOM，2129ACd，2229BDd，22221212129999186122ABCDSACBDdddd．故选：B．9．已知函数()sin()fxx在区间π2π,63单调递增，直线π6x和2π3x为函数yfx的图像的两条对称轴，则5π12f（）A．32B．12C．12D．32【答案】D【解析】因为()sin()fxx在区间π2π,63单调递增，所以2πππ2362T，且0，则πT，2π2wT，当π6x时，fx取得最小值，则ππ22π62k，Zk，则5π2π6k，Zk，不妨取0k，则5πsin26fxx，则5π5π3sin1232f，故选：D.10．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为211，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为14；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为13．记第n次推送时不购买此商品的概率为nP，当2n时，nPM恒成立，则M的最小值为（）A．97132B．93132C．97120D．73120【答案】A【解析】由题意知，根据第1n次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的概率第n次（2n）推送时不购买此商品的概率()1113212143123nnnnPPPP---=+-=+，所以1818111211nnPP-骣琪-=-琪桫，由题意知1911P=，则1811111P-=，所以811nP禳镲-睚镲铪是首项为111、公比为112的等比数列，所以1811111112nnP--=?，即1811111112nnP-=+?．显然数列nP递减，所以当2n时，281197111112132nPP?+?，所以M的最小值为97132．故选:A．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知点1,5A在抛物线C：22ypx上，则A到C的准线的距离为______.【答案】94【解析】由题意可得：2521p，则25p，抛物线的方程为25yx，准线方程为54x，点A到C的准线的距离为59144.故答案为：94.12．如图，,BCDE是半径为3的圆O的两条直径，2BFFO，则FDFE__________．【答案】8【解析】由题意可得，1FO，3OD,()()FDFEFOODFOOEFOODFOOD228FOOD,故答案为:8.13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．【答案】5【解析】设区域代号为x，种植密度为1y，单株产量为2y，则1,2,3,4,5,6,7,8x，由图象可得种植密度1y是区域代号x的一次函数，故设1ykxb，1,2,3,4,5,6,7,8x，由已知函数1ykxb的图象经过点1,2.4,8,4.5，所以2.44.58kbkb，解得0.32.1kb，所以10.32.1yx，由图象可得单株产量2y是区域代号x的一次函数，故可设2ymxn，1,2,3,4,5,6,7,8x，观察图象可得当1x时，21.28y，当8x时，20.72y，所以1.280.728mnmn，解得0.081.36mn，所以20.081.36yx，所以总产量0.32.10.081.360.024mxxx210119xx当5x时，函数mx有最大值，即5号区域总产量最大，最大值为3.456.故答案为：5.14．已知函数ln0afxxaxa，exgxx，若2ex1,时，fxgx恒成立，则实数a的取值范围是____.【答案】0,e【解析】exgxx，则e1xgx，则0x时，e10xgx，gx单调递增.2ex1,时，fxgx恒成立，即lneaxxaxx恒成立，则lnelneaxaxxx在21,e上恒成立，则lnaxx即lnxax在21,e上恒成立，令()lnxkxx，2ex1,，则2ln1()lnxkxx则当1,ex时，()0kx，()kx单调递减；当2e,ex时，()0kx，()kx单调递增.则当ex时()kx取得最小值e(e)elnek，则ea则实数a的取值范围是0,e故答案为：0,e15．在数列na中各项均为正数，且211nnnaaa(1,2,3,)n=?，给出下列四个结论：①对任意的2n…，都有1na②数列na不可能为常数列③若102a，则数列na为递增数列④若12a，则当2n…时，12naa其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①③④【解析】对于①，在数列na中，211nnnaaa，则111nnnaaa，又对于任意的Nn都有0na，则110na，即11na，即对于任意的2n，都有1na，故①项正确；对于②，不妨设数列na可能为常数列，则1nnaa，又211nnnaaa，则2nnnaaa，则2na，即12a时，数列na为常数列，故②项错误；对于③，2111112(2)nnnn