数学-2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用）（全解全析）

2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用）数学·全解全析一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集UR，集合260,{|23}AxxxBxxZ∣，则UABð（）A．1,3B．1,3C．1,0,1,2,3D．0,1,2,3【答案】D【分析】分别求出集合A、UAð、B，再求交集可得答案.【详解】因为260,23,Axxx，所以2,3UAð，又因为|323|150,1,2,3,4BxxxxZZ，所以0,1,2,3UABð.故选：D.2．设xR，则“sin1x”是“cos0x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sincos1xx可得：当sin1x时，cos0x，充分性成立；当cos0x时，sin1x，必要性不成立；所以当xR，sin1x是cos0x的充分不必要条件.故选：A.3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（）A．sin6()22xxxfxB．cos6()22xxxfxC．cos6()22xxxfxD．sin6()22xxxfx【答案】C【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可【详解】由图象可知，函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，对于A，sin(6)sin6sin6()()22(222)2xxxxxxxxxfxfx，所以()fx是偶函数，当0x时，令()0fx，则sin60x，得*()6kxkN，则当0x时，函数的第一个零点为6x，当06x时，sin60x，220xx，所以()0fx，所以A不合题意，对于B，因为cos(6)cos6cos6()()22(2222)xxxxxxxxxfxfx，所以()fx是奇函数，所以不合题意，对于C，因为cos(6)cos6()()2222xxxxxxfxfx，所以()fx是偶函数，当0x时，令()0fx，则cos60x，得()126kxkN，所以当0x时，函数的第一个零点为12x，当012x时，cos60x，220xx，所以()0fx，所以符合题意，对于D，因为sin(6)sin6sin6()()222222xxxxxxxxxfxfx，所以()fx是奇函数，所以不合题意，故选：C4．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是（）A．第三组的频数为18人B．根据频率分布直方图估计众数为75分C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分【答案】C【解析】对于A频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[60,70）内的频率；对于B根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即可得解；对于C，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分，对于D，由中位数将所有的小长方形的面积均分即可求解．【详解】对于A，因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60，70）内的频率为：f＝1﹣10（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）＝0.15，所以第三组[60,70）的频数为120×0.15＝18（人），故正确；对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故正确；对于C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：45×（10×0.005）+55×（10×0.015）+65×（10×0.015）+75×（10×0.03）+85×（10×0.025）+95×（10×0.01）＝73.5（分），故错误；对于D，因为（0.05+0.15+0.15）×10＝0.35＜0.5，（0.05+0.15+0.15+0.3）×10＞0.5，所以中位数位于[70,80）上，所以中位数的估计值为：700.50.350.03075，故正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．本题属于中档题．5．设3log4a，3log5b，则3log10（）A．24abB．42abC．12abD．1142ab【答案】C【分析】根据对数的运算法则即可求解.【详解】由3log4a得332log2log22aa，所以333log10log2log52ab，故选：C6．若所有棱长都是3的直三棱柱111ABCABC-的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．12B．18C．21D．39【答案】C【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：22233332；所以外接球的半径为：22321(3)22．所以外接球的表面积为：2214212．故选：C【点睛】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．7．已知F是抛物线2:2Cypx(0)p的焦点，抛物线C的准线与双曲线2222:1xyab(0,0)ab的两条渐近线交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则的离心率e（）A．32B．233C．217D．213【答案】D【解析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a，b的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：抛物线的焦点坐标为,02p，准线方程为：2px，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程2pxbyxa，解得2pbya，可得||pbABa，ABF为等边三角形，可得32pbpa，即有23ba，则224211133cbeaa．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．8．将函数sin2fxx的图象向右平移π02个单位后得到函数gx的图象，若gx在区间π0,6上单调递增，且函数gx的最大负零点在区间ππ,36上，则的取值范围是A．ππ,124B．π5π,612C．ππ,63D．ππ,64【答案】D【分析】利用函数sin2fxx的图象向右平移π02个单位后，得到函数gx的图象的位置特征，列出关于的关系式，最后确定取值范围.【详解】函数sin2fxx的图象向右平移π02个单位后，得到函数gx的图象,所以()sin(22)gxx，π0,(22)[2,2]63xx，gx在区间π0,6上单调递增，所以有23212422①；当122()2xkxkkZ时，函数()0gx，而π02，所以函数gx的最大负零点为12x，它在区间ππ,36上，所以有132663②，结合①②，的取值范围是ππ,64，故本题选D.【点睛】本题考查了正弦型函数图象的变换规律，正弦型函数的单调性和零点，考查了运算能力.9．如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且2AB，1MCMDCD．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则NANB的取值范围是（）A．1,04B．3,04C．1,14D．3,04【答案】A【分析】连接MN，求出||NM的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.【详解】连接MN，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，因为1MCMDCD，即MCD△是正三角形，于是3||12NM，而M为AB的中点，且||1MA，所以221()()[,0)4NANBNMMANMMANMMA.故选：A【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点为向量端点的向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.第Ⅱ卷二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。）10．已知复数z满足12i43iz（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为______.【答案】2【分析】由模长公式及复数的四则运算得出复数z，进而即得.【详解】因为43i5，所以12i5z，则55(12i)5(12i)12i12i(12i)(12i)5z，所以复数z的虚部为2.故答案为：2.11．在6312xx的展开式中，4x的系数是________．【答案】60【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于4，计算展开式中含有4x项的系数即可.【详解】由题意得：1863626671C2C21rrrrrrrTxxx，0,1,2,3,4,5,6r，只需71842r，可得4r，所以424456C260Txx，故答案为：60.12．已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线对称，直线与圆C相交于A、B两点，且6AB，则圆C的方程为______．【答案】【详解】设圆心坐标C(a，b)∵圆心与P关于直线y=x+1对称∴直线CP与y=x+1垂直∵y=x+1的斜率为1∴直线CP的斜率为-1∴化简得：a+b+1=0①∵CP的中点在直线y=x+1上∴化简得：a-b-1=0②联立①②得到：a=0，b=-1∴圆心的坐标为：(0，-1)∵圆心C到直线AB的距离d=,∴根据勾股定理得到半径=18∴圆的方程为.13．已知0x，0y，228xyxy，则2xy的最小值为_____．【答案】4【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2ab代入已知条件，转化为解不等式求最值．【详解】∵2xy＝x·(2y)≤22xy2，∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋22xy2，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.14．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下