数学-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）02(解析版)

2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．若集合2log10,210AxxBxxx∣∣，则ARBð（）A．0,4B．1,4C．0,2D．1,2【答案】D【详解】由2log10x可得：011x，解得：14x，由210xx可得：210xx，解得：2x或1x，所以RBð12xx，14Axx∣，所以ARBð1,2故选：D.2．已知xR，则“0x”是“23xx”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【答案】C【详解】因为20x，则23xx等价于132x，又因为32xy在定义域内单调递增，则132x等价于0x，即23xx等价于0x，故“0x”是“23xx”的充要条件.故选：C.3．已知函数()fx的定义域为[1,9]，且当19x时，()2fxx，则22[()]()yfxfx的值域为（）A．[1,3]B．[1,9]C．[12,36]D．[12,204]【答案】C【详解】由()fx的定义域为[1,9]，22[()]()yfxfx，则21919xx，即[1,3]x，所以2222(2)22462(1)4yxxxxx，因为[1,3]x，所以函数y在1,3x上单调递增，当1,12xy，当3,36xy，故函数y的值域为12,36.故选：C．4．已知6log3a，3log2b，0.10.5c，则（）A．abcB．bcaC．cabD．bac【答案】D【详解】易知，6log31a，3log21b，而100.10.50.5c，故,cacb，又因为66122log3l9oga，3322log2log12b，故22ab，即ab，所以bac，故选：D.5．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Koch）曲线是几何中最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成，则称logrDN为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（）A．2log3B．3log2C．1D．32log2【答案】D【详解】由题意Koch曲线是由把全体缩小13的4个相似图形构成的，则其相似的分形维数是33log42log2D，故选：D.6．已知正实数,xy满足121xy，则22xyxy的最小值为（）A．2B．4C．8D．9【答案】C【详解】122221222xyxyxyxyxyxyxy=2422yxxyxy，而12442124428xyxyxyxyxyyxyx，当且仅当4121xyyxxy，即2,4xy取等.故选：C.7．若函数21()ln2fxxxax=++有两个极值点12,xx，且125fxfx，则（）A．42aB．22aC．22aD．42a【答案】C【详解】因为函数21()ln2fxxxax=++有两个极值点12,xx，又函数21()ln2fxxxax=++的定义域为0,，导函数为21()xaxfxx，所以方程210xax由两个不同的正根，且12,xx为其根，所以240aa，120xxa，121xx，所以a0，则22211122212121212111lnlnln222xxaxxxaxxxxxxxaxx22211ln11122aaa，又125fxfx，即21152a，可得280a，所以22a或22a（舍去），故选：C.8．已知函数1,0ln,0axxfxxx，若存在00x，使得00fxfx成立，则实数a的取值范围是（）A．,1B．,1C．1,D．1,1【答案】B【详解】由题意00lnfxx，001fxax，即00ln1xax有解，先求1yax与lnyx相切时，1yax过定点(0,1)，lnyx的导数1yx，设切点为11,lnxx，则由导数可知11kx，所以111ln110xkaxx，解得11x，即切点为(1,0)，此时切线斜率1a，作出函数图象，如图，由图象可知，当1a时，存在存在00x，使得00fxfx成立.故选：B二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）9．下列结论中，所有正确的结论是（）A．若0,0abcd，则acbdB．命题000:1,,e1xpxx的否定是：1,,e1xxxC．若0ab且0c，则bcbacaD．若20,,1xaxx，则实数,2a【答案】AB【详解】对A，0cd，则0cd，又0ab，则0acbc，acbd，故A正确；对B，命题000:1,,e1xpxx的否定是：1,,e1xxx，故B正确；对C，abcbacabcbcbacaaacaac，因为0ab且0c，故0abcaac，即bcbaca，故C错误；对D，当2a，1x时，21axx不成立，故D错误；故选：AB10．下列结论中，正确的是（）A．若0xy，2xyxy，则2xy的最小值为8B．若3x，则函数13yxx的最小值为1C．已知正数a，b满足abab，则11211abD．已知0a，0b，且21ab，则2ab【答案】ACD【详解】对于A，因为0xy，2xyxy，所以0x，0y，且121xy，则1244224428yxyxxyxyxyxyxy≥，当且仅当4yxxy，即24yx时取等号，所以2xy的最小值为8，故A正确；对于B，若3x，则30x，则30x，则111332335333yxxxxxx，当且仅当133xx，即4x时取等号，所以函数13yxx的最大值为5，故B错误．对于C，因为正数a，b满足abab，所以111ab，且1a，1b，所以111221111abab，当且仅当2ab时等号成立，故C正确.对于D，∵0a，0b，且21ab，∴212abab，∴222abab，∴22ab，当且仅当22ab取等号，故D正确.故选：ACD．11．已知函数lg,01062,108xxfxxx，令gxfxm，则（）A．0m或1m时，()gx有1个零点B．若gx有2个零点，则0m或1mC．fx的值域是2,D．若gx有3个零点123,,xxx，且123xxx，则123xxx的取值范围为10,11【答案】BCD【详解】由函数lg,01062,108xxfxxx，画出函数fx的图象，如图所示，由函数gxfxm，则gx的零点，即0fxm，即函数yfx与ym的交点横坐标，对于A中，当2m时，函数gx没有零点，所以A错误；对于B中，要使得函数gx有2个零点，即函数yfx与ym有两个不同的交点，结合图象，可得0m或1m，所以B正确；对于C中，由函数fx的图象，可得函数的值域为2,，所以C正确；对于D中，由gx有3个零点123,,xxx，且123xxx，可得1230110xxx，由12lglgxx，即12lglgxx，所以1212lglglg0xxxx，可得121xx，又由360218x，解得31011x，所以123xxx的取值范围为10,11，所以D正确.故选：BCD.12．已知函数e1xfxx，1lngxxx，则（）A．函数gx在0,上存在唯一极值点B．fx为函数fx的导函数，若函数hxfxa有两个零点，则实数a的取值范围是211,1eC．若对任意0x，不等式2lnfaxfx恒成立，则实数a的最小值为2eD．若120fxgxtt，则12ln1txx的最大值为1e【答案】BCD【详解】对于A：11lngxxx，令11()1lngxxx，则122111xgxxxx，令10gx，解得：1x，令10gx，解得：01x，故gx在1,单调递增，在0,1单调递减，故120gxg，故gx在0,单调递增，函数gx在0,上无极值点，故A错误；对于B：()e1e(1)e1xxxfxxx，令1()(1)e1xfxx，则1()e(1)e(2)exxxfxxx，当2x时，1()0fx，当2x时，1()0fx，故1()fx在,2上为减函数，在(2,)上为增函数，故1min121()(2)1efxf，即min21()1efx，又1x时，()1fx，作出函数yfx的图象，如图：若函数hxfxa有两个零点，得fxa有两个实根，得函数yfx的图象与直线ya有两个交点，由图可知，2111ea，故B正确；对于C：由B得：()0fx在(0,)上恒成立，则fx在0,单调递增，则不等式2lnfaxfx恒成立，等价于2lnaxx恒成立，故2lnxax，设2lnxhxx，则221lnxhxx，令0hx，解得：0ex，令0hx，解得：ex，故hx在0,e上单调递增，在e,上单调递减，故max2()(e)ehxh，故2ea，则实数a的最小值为2e，故C正确；对于D：若120fxgxtt，则1122e11lnxxxxt，即1122e1lne1lnxxxxt，∵0t，∴10x，1e0x，21x，由A知，(1)lngxxx在0,上单调递增，故12exx，所以1121lnlnln1(e1)xtt