数学-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）03（全解全析）

2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）03数学·全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合1|,102xAyyx，|ln2Bxyx，则ABRð（）A．1,2B．1,2C．1,D．1,【答案】C【解析】由已知1|,102xAyyx1,2，|ln2Bxyx,2，2,BRð，1,RABð.故选：C.2．已知复数2i是关于x的方程20(,)xaxbabR的一个解，则复数izab在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为复数2i是关于x的方程20xaxb的一个解，则方程的另一解为2i，由韦达定理可得12122i2i2i2ixxaxxb，解得45ab，所以复数izab在复平面内对应的点为4,5在第四象限.故选：D3．在ABC中，点D为AC中点，点E在BC上且2BEEC.记,ABaACb，则ED（）A．1136abB．1136abC．1163abD．1136ab【答案】B【解析】如图所示：由,ABaACb，所以BCACABba，又2BEEC，1133ECBCba，又因为D为AC中点，12CDb，则1136EDECCDab，故选：B.4．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0e0ktPPt，其中k为常数，00,kP为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）参考数据：1310.5855．A．12%B．10%C．9%D．14%【答案】A【解析】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以9001e5kPP，即91e,5k所以1331e5k．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为4341230000011ee0.58512%55kkPPPPP．故选：A.5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（）A．112B．5108C．172D．1216【答案】B【解析】根据题意，随机掷一枚均匀的正方体骰子，每次实验掷三次，共有666216种不同的结果，其中每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件包括数字1、2、3组成的结果有33A种，数字1、1、4组成的结果有13A种，数字2、2、2组成的结果有1种.故所求概率为3133AA15216108P.故选：B.6．若tantantantan122，则coscos（）A．0B．12C．1D．32【答案】C【解析】由tantantantan122，可得sinsinsinsincoscoscoscos2222，又由正弦的倍角公式，可得224sincossincoscoscoscoscos222222，即22224sinsincoscos(12sin)(12sin)2222，令22sin,sin22xy，则4(12)(12)1224xyxyxyxy，解得12xy，所以22coscos12sin12sin22()122xy.故选：C.7．已知正四棱台的高为1，下底面边长为22，侧棱与底面所成的角为45，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．205π3B．32π3C．86πD．36π【答案】A【解析】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为12,rr，连接AC，过1A作AC的垂线垂足为E，过1C作AC的垂线垂足为F，因为正四棱台的高为1，下底面边长为22，侧棱与底面所成的角为45，可得11,2AECFEFAC，即121,2rr，设球心到上下底面的距离分别为12,dd，球的半径为R，可得211dR，224dR，故12||1dd或121dd，即22|14|1RR或22141RR，解得25R，符合题意，所以球的体积为34205ππ33VR．故选：A.8．设1615a，31sin460b，61ln60c，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．cabB．cbaC．abcD．bca【答案】D【解析】设()ln(1)si3n4fxxx，103x，则13()cos14fxxx，103x，31141x，33cos44x，故()0fx，()fx在10,3上单调递增，故()(0)0fxf，当103x时，3ln(1)sin4xx恒成立，令110,603x，则6131lnsin60460，即cb；设()ln(1)3xgxx，1040x，则1161()166(1)xxgxxxxx，又2261()61(3)8xxxxx，故61xx在10,40x上单调递减，1361104010xx，故()0gx，则函数()gx在10,40上单调递增，即()(0)0gxg，故当1040x时，ln(1)3xx恒成立，令110,6040x，则11161ln36060615，即ac，综上所述：bca.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的是（）A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8B．若随机变量100,XBp，且20EX，则16DXC．若随机变量2,XN，且(4)(2)PXPXp，则1212PXpD．对一组样本数据1122,,,,,,nnxyxyxy进行分析，由此得到的线性回归方程为：ˆˆˆybxa，至少有一个数据点在回归直线上【答案】BC【解析】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9.因为1070%7，所以这组数据的第70百分位数为898.52，故A错误；对于B，由100,XBp，则10020EXp，即15p，则1410011001655DXpp，故B正确；对于C，因为(4)(2)PXPXp，则2412，所以1212PXp，故C正确；对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误.故选：BC.10．设函数fx定义域为R，1fx为奇函数，1fx为偶函数，当1,1x时，21fxx，则下列结论正确的是（）A．7324fB．fx在6,8上是减函数C．7fx为奇函数D．方程lg0fxx仅有6个实数解【答案】ACD【解析】因为1fx为偶函数，所以11fxfx，所以(11)((1)1)fxfx，即()(2)fxfx，因为1fx为奇函数，所以11fxfx，所以(31)((3)1)fxfx，即(2)(4)fxfx，所以()(4)fxfx，所以(4)(44)(8)fxfxfx，所以()(8)fxfx，所以(8)()fxfx，即函数()fx的一个周期为8.在()(2)fxfx中，令72x，得7732222fff，在11fxfx中，令12x，得3111222fff，又1131244f，所以73132224fff，故A正确；因为21fxx在区间(1,0)上是增函数，且()fx的一个周期为8，所以fx在7,8上单调递增，在6,8上不为减函数.故B错误；因为(8)()fxfx，所以71fxfx，所以711187fxfxfxfxfx，从而7fx为奇函数，故C正确；因为1fx为奇函数，所以()fx的图象关于点(1,0)对称，因为1fx为偶函数，所以()fx的图象关于直线1x对称，又当1,1x时，21fxx，作出fx与lgyx的大致图象，如图所示.其中lgyx单调递减且lg121，所以两函数图象有6个交点，故方程lg0fxx仅有6个实数解，故D正确.故选：ACD.11．已知抛物线C：28xy的焦点为F，11,Mxy，22,Nxy是抛物线上两点，下列结论正确的是（）A．MF的最小值为2B．若12MFNF，则线段MN的中点P到x轴的距离为6C．若直线MN过点F，则124xxD．若MFNF，则MN的最小值为8【答案】AD【解析】对A，28xy，则4p，焦点F坐标为0,2，准线方程为=2y，∴12MFy，∵10y，∴2MF，当且仅当10y时等号成立，故A正确；对B，∵12MFNF，根据抛物线定义得122212yy，则128yy，而由中点坐标公式得点P的纵坐标1242Pyyy，即为点P到x轴的距离为4，故B错误；对C，因为直线MN过点F，设直线MN方程为2ykx，代入抛物线方程整理得28160xkx，所以1216xx，故C错误；对D，若MFNF，则M，F，N三点共线，由题得12||||22MFNFyy222212121212()264324444888xxxxxxkyy，当0k时MN的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确.故选：AD．12．如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）．A．三棱锥111BCDP的体积为定值B．存在点P，使得11DPACC．若11DPBD，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为2D．若点P是AD的中点，点Q是1BB的中点，过P，Q作平面平面11ACCA，则平面截正方体1111ABCDABCD的截面面积为33【答案】ABD【解析】对于A，由等体积法111111BCDPPBCDVV，三棱锥111PBCD的高为12BB，底面积11112222BCDS，所以111111142233BCDPPBCDVV，所以三棱锥111BCDP的体积为定值，A正确；对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,0Pxy，2,0,0A，12,2,2B，10,2,2C，10,0,2D，0,0,0D，1,,2DPxy，12,2,2AC，若11DPAC，则112240DPACxy，即2xy，取0,2xy，此时点P与点C重合