文科数学-2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）（解析版）

2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）文科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知集合{20}Axx∣,2,1,0,1B,则AB（）A．{2,1,0,1}B．{1,0,1}C．{2,1}D．{2,1,0}【答案】C【解析】由题意得2,2,1,1,2,1ABABAB.故选C.2．复数2i1iaz在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a的值为（）A．1B．2C．1D．2【答案】B【解析】2i1i2i22i1i1i1i22aaaaz,因为复数z对应点在虚轴上,所以202a,解得2a.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C．经营净收入比转移净收入大约多659元D．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%,故A错、B错；经营净收入与转移净收入差为57780.320.21636元,故C错误；财产净收入为57780.03173元,故D正确.故选D.4．平行四边形ABCD中,点M在边AB上,3AMMB,记,CAaCMb,则AD（）A．4733abB．2433baC．7433baD．1433ab【答案】D【解析】在ABCDY中,3AMMB,,CAaCMb,所以1114()3333ADBCBMMCMACMCACMCMab.故选D5．记nS为等差数列na的前n项和,已知19a,2410aa,则nS的最小值为（）A．25B．35C．45D．55【答案】A【解析】设公差为d,则24(9)(9)310aadd,2d,22(1)(9)210(5)252nnnSnnnn,所以5n时,nS取得最小值25．故选A．6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A．21cos41xxyxB．22sin1xyxC．22(ee)1xxyxD．32sin1xxyx【答案】B【解析】4个选项函数定义域均为R,设该函数为fx,对于A,2211coscos44,,11xxxxfxfxfxfxxx,故21cos41xxyx为奇函数,且40f,对于B,222sin2sin,,11xxfxfxfxxx故fx为奇函数,2sin44017f,对于C,222(ee)2(ee),,11xxxxfxfxfxfxxx,故fx为偶函数,对于D,3322sinsin,11xxxxfxfxfxxx，故fx为奇函数,64sin44117f,由图知函数为奇函数,故排除C；由40f,排除A,由41f,排除D,故选B．7.已知函数2e21xfxxx,则fx的图象在0x处的切线方程为（）A．410xyB．210xyC．4e20xyD．2e10xy【答案】B【解析】因为2e21xfxxx,所以22e2xfxxx,则02,01ff,所以fx的图象在0x处的切线方程为120yx,即210xy.故选B.8．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45之后,表面积增加了（）A．54B．54362C．108722D．81722【答案】C【解析】如图,转动了45后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x,则斜边为2x,则有223xx,得到3232x,由几何关系得：阴影部分的面积为211322792(3)2242S,所以增加的面积为127921616()10872242SS.故选C.9．设M是椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点,P是C上的一个动点．当P运动到下顶点时,||PM取得最大值,则C的离心率的取值范围是（）A．2,12B．20,2C．1,12D．10,2【答案】B【解析】设00,Pxy,0,Mb,因为2200221xyab,222abc,所以2223422222220000022221ycbbPMxybaybyabbbcc,0byb,由题意知当0yb时,2PM取得最大值,所以32bbc,可得222ac,即212e,则202e．故选B．10．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC,4ABAC,点(1,3)B,点(4,2)C,且其“欧拉线”与圆222:()(3)Mxayar相切.则圆M上的点到直线30xy的距离的最小值为（）A．22B．32C．42D．6【答案】A【解析】点D为BC中点,在ABC中,4ABAC,所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC的“欧拉线”为AD,因为点1,3B,点4,2C,所以31,22D,因为直线BC的斜率为32114,所以AD斜率为1,方程为1322yx,即10xy,因为“欧拉线”与圆222:()(3)Mxayar相切所以圆心(,3)aa到“欧拉线”的距离为|31|,22aarr,圆心(,3)aa到直线30xy的距离为|33|322aa,所以圆M上的点到直线30xy的距离的最小值为32222,故选A.11.已知直四棱柱1111ABCDABCD的底面为正方形,12,1AAAB,P为1CC的中点,过,,ABP三点作平面,则该四棱柱的外接球被平面截得的截面圆的周长为（）A．6πB．5πC．2πD．22π2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCDABCD的外接球的半径2221611222R,如图,取1DD的中点E,连接,,AEPEBP,易知四边形ABPE为矩形,且平面即为平面ABPE,分别取11,AABB的中点,MN,连接,,MNNPME,则易得四边形MNPE为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O即为正方形MNPE的中心,取ME的中点1O,连接1OO,则11//,OOEPOO平面ABPE,EP平面ABPE,所以1//OO平面ABPE,故球心O到平面APE的距离与1O到平面APE的距离相等,过点1O作1OHAE,垂足为H,易知AB面11AADD,1OH面11AADD,故1ABOH,又AB,,AEAABAE平面ABPE,所以1OH平面ABPE,又1OH12sin454OE,所以球心O到平面APE的距离为24,由球的性质知,截面圆的半径r22162224164ROH,所以截面圆的周长为222ππ2r.故选D.12．已知函数fx与()gx的定义域均为R,(1)fx为偶函数,且1(3)()fxgx,1()(1)fxgx,则下面判断错误的是()A．fx的图象关于点(2,1)中心对称B．fx与gx均为周期为4的周期函数C．20221()2022ifiD．20230()0igi【答案】C【解析】因为1fx为偶函数,所以11fxfx①,所以fx的图象关于直线1x轴对称,因为11fxgx等价于11fxgx②,又31fxgx③,②+③得132fxfx④,即132fxfx,即22fxfx,所以422fxfxfx,故fx的周期为4,又13gxfx,所以gx的周期也为4,故选项B正确,①代入④得132fxfx,故fx的图象关于点2,1中心对称,且21f,故选项A正确,由22fxfx,21f可得01,41ff,且132ff,故12344ffff,故20221()5054(1)(2)2021(1)ififff,因为1f与3f值不确定,故选项C错误,因为31fxgx,所以10,30,013,211gggfgf,所以022130ggff,故01230gggg,故20230()50600igi,所以选项D正确,故选C.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．若x,y满足约束条件321xyxyx,则2zxy的最大值为________．【答案】112【解析】如图,画出可行域,2yxz表示斜率为2的一组平行线,当0z时,首先画出初始目标函数2yx,当2yx平移至点C时,z取得最大值,联立32xyxy,得52x,12y,即51,22C,即max51112222z.14．已知na是公比为(0)qq)的等比数列,且246,,aaa成等差数列,则q__________．【答案】1【解析】在等比数列na中,246,,aaa成等差数列,则4262aaa,即242222aqaaq,而20a,整理得42210qq,因为0q,故解得1q.15．已知sin0fxx,若在π0,2上恰有两个不相等的实数a、b满足2fafb,则实数的取值范围是__________．【答案】5,9【解析】因为π02x,所以π02x,因为在π0,2上恰有两个不相等的实数a、b满足2fafb,且sin0fxx,所以,函数fx在π0,2上恰有两个最大值点,所以,5ππ9π222,解得59,因此,实数的取值范围是5,9.16．已知抛物线24yx的焦点为F,点,PQ在抛物线上,且满足π3PFQ,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24yx可得准线方程为=1x,设|||,0,,|(0)PFaQ