文科数学-2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03(解析版)

2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03文科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知全集U=R，集合324AxxBxx，，则图中阴影部分表示的集合为（）A．2,3B．2,3C．（2，3]D．[-2，3）【答案】C【分析】根据阴影部分，可以表示为AB在集合B下的补集，利用补集的运算性质即可.【详解】因为324AxxBxx，，则34ABxx,由韦恩图可知，阴影部分表示BABð.则23BABxxð，即2,3.故选：C2．复数11izi-=+,则z的虚部．．为A．iB．iC．-1D．1【答案】D【解析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出z，则答案可求．【详解】依题意，21121112iiiziiii，zi，复数z的虚部为1，故选D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在335/gm以下空气质量为一级，在3335/~75/gmgm之间空气质量为二级，在375/gm以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：3/gm）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A．这10天中有4天空气质量为一级B．这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日C．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低D．这10天的PM2.5日均值的中位数是45【答案】D【分析】由折线图逐一判断各选项即可.【详解】由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，11月5日PM2.5日均值为82，显然最大，故B正确，从5日到9日，PM2.5日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故C正确，中位数是4549472，所以D不正确，故选D.【点睛】本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.4．若π1sin()63，则2πcos()3（）A．13B．13C．79D．79【答案】B【分析】由三角函数的诱导公式，即可求得答案.【详解】2ππππ1cos()cos()sin()36263故选：B5．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00GGLLD，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，0L表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，0G表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.3）（）A．75B．74C．73D．72【答案】C【分析】由已知可得45D，再由1840.5()0.25G，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．【详解】由题设可得18180.50.4D，则45D，所以1840.50.25G，即45218lg18lg2lg5182lg211820.31518log72452lg2l2g53lg2130.31lg5G，所以所需的训练迭代轮数至少为73次．故选：C．6．等差数列na中，已知712aa且公差0d，则其前n项的和nS取得最小值时n的值为A．9B．8C．7D．10【答案】A【详解】∵712aa且公差0d，∴712aa，从而7120aa.∴9100aa，∴9100,0aa.∴当数列na前n项的和nS取得最小值时n的值为9.选A．7．已知函数fx的部分图象如下所示，则fx可能为（）A．cos1()22xxxfxB．cossin()22xxxxxfxC．cossin()22xxxxxfxD．cossin()22xxxxxfx【答案】D【解析】结合图象的特点，分别结合选项排除，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为R，函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数，则选项C中，函数cossin()22xxxxxfx的定义域为|0xx不符合题意，排除C；对于B中，函数cos()sin()cossin()()2222xxxxxxxxxxfxfx，则函数fx为奇函数，不符合题意，排除B；对于A中，函数cos1()022xxxfx恒成立，不存在负值，不符合题意，排除A；对于D中，函数cos()sin()cossin()()2222xxxxxxxxxxfxfx，则函数fx为偶函数，且函数值可正、可负，符合题意.故选：D.8．设命题2:()ln21pfxxxmx在(0,)上单调递增，命题:4qm，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求导得：1()4fxxmx，由已知可得：140xmx在(0,)上恒成立，即14mxx，由114244yxxxx，可知：min4my，问题得解.【详解】由已知可得：1()4fxxmx，2()ln21fxxxmx在(0,)上单调递增，140xmx即14mxx在(0,)上恒成立，令14,0yxxx114244yxxxx，当12x时等号成立，min4my.所以p是q成立的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了恒成立问题和基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题.9．已知定义域为R的奇函数fx满足3122fxfx，且当01x时，3fxx，则52f（）A．278B．18C．18D．278【答案】B【解析】根据fx满足3122fxfx，从而得出5122ff，再根据fx是奇函数，且当01x剟时，3()fxx，从而得出12f的值，即可得解．【详解】解：依题意，fx满足3122fxfx311122ff即5122ff，又fx是定义域为R的奇函数，fxfx，即1122ff，因为当01x时，3fxx，3111228f，故51112228fff故选：B【点睛】考查奇函数的应用，以及函数求值的方法，属于基础题．10．曲线lnyxx上的点到直线20xy的最短距离是（）A．2B．22C．1D．2【答案】B【分析】求出曲线与已知直线平行的切线的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解作答.【详解】依题意，曲线lnyxx与直线20xy相离，设曲线lnyxx在点00(,)xy处的切线与直线20xy平行，求导得ln1yx¢=+，则00ln11|xxyx＝，解得01x，有00y，切点坐标为(1,0)，因此切点(1,0)到直线20xy的距离为22|102|221(1)d，所以曲线lnyxx上的点到直线20xy的最短距离是22.故选：B11．已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，ADl于D.若2,60AFDAF，则抛物线C的方程为（）A．22yxB．24yxC．28yxD．2yx【答案】A【分析】根据抛物线的定义求得2DF，然后在直角三角形中利用60DAF可求得2p，从而可得答案．【详解】如图，连接DF，设准线与x轴交点为M抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为,02pF，准线l：2px又抛物线的定义可得AFAD，又60DAF，所以DAF△为等边三角形，所以2DFAF，60DFM所以在RtDFM中，222DFMFp，则1p，所以抛物线C的方程为22yx.故选：A.12．已知可导函数()fx的导函数为()fx，若对任意的xR，都有()()1fxfx，且(0)2021f，则不等式()20201xfxe的解集为（）A．(,)eB．(,2021)C．(0,)D．(2020,)【答案】C【分析】构函数()1()xfxgxe，由题设条件可得其单调性，从而可求函数不等式的解.【详解】构造函数()1()xfxgxe，则()()1()0xfxfxgxe，∴函数()gx在R上单调递减，∵(0)2021f，∴0(0)1(0)2020fge，由()20201xfxe得()12020xfxe，∴()(0)gxg，∵函数()gx在R上单调递减，∴0x，故选：C.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知(2,),(3,1)ab，若abb，则a______.【答案】25【分析】根据题意求得(1,1)ab，结合向量的数量积的运算公式求得的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)ab，可得(1,1)ab，又因为abb，可得(1,1)(3,1)310bba，解得4，所以(2,4)a，所以22(2)(4)25a.故答案为：25.14．圆心在直线yx上，且与直线12yx相切于点1,1M的圆的标准方程为________．【答案】223320xy【分析】设圆心坐标为,bb，利用点到直线距离公式和两点距离公式求解即可.【详解】设圆心坐标为,bb，因为圆与直线12yx相切于点1,1M，所以2222211112bbbb，可得：2690bb，解得3b，所以所求圆的圆心为3,3，半径22313125r，所以所求圆的方程为223320xy.故答案为：223320xy.15．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为________.【答案】32π3【分析】设圆柱的底面半径为r，则其母线长为2lr，由圆柱的表面积求出r，代入圆柱的体积公式，求出其体积，结合题目中的结论，即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱底面半径为r，则其母线长为2lr，因为圆柱的表面积为222Srrl所以22224rrl，得到2r所以圆柱的体积为23216Vrlr，根据题意可知圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，所以该圆柱的内切球的体积为23233VV.故答案为：32