第十三章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法ppt

板壳力学MechanicsofPlateandShell板壳力学2§13-2弹性曲面的微分方程三个位移u(w),v(w),w六个应变六个应力wq(),(),()xyxyzxzyz(),(),(),(),(),()xyzxyxzyz板壳力学3（一）用w表示应变2222222xxyyxyxywuxxvwzzyyuvwyxxy板壳力学4则几何方程2xxyyxyxyz板壳力学5关于的说明：x向近似曲率x220xwx板壳力学6（二）用w表示应力分量主要应力222222210101010111001002xxyyxyxywxEEzwywxy板壳力学7次要应力定2000yxxzxyzyxyyzxzztzzXxyzYyzxZwzxyzxzyww,zFxy板壳力学8（三）薄板的弹性曲面微分方程下面就利用薄板上板面的边界条件建立挠曲面w(x,y)与外荷载的关系式，设板的顶面承受荷载q(x.y)，并规定荷载向下为正，而底面不承受荷载。板壳力学9在薄板的上表面有边界条件,qxy2t2txzy2tzzq板壳力学10代入(13-9)得到：(13-10)或(13-10)或(13-10)23421221261ttEtwqtt342121Etwq4Dwq44442242板壳力学11关于的几点说明1．是严格从弹力平衡方程导出的，其本质是板的静力平衡方程，方程的右边是单位面积上的横向载荷，左边是单位面积上的弹性抗力。2．推导途径有三条：（1）课程所述（2）建立内力与荷载平衡关系（3）能量原理4Dwq板壳力学123．关于D，是薄板的抗弯刚度，单位（力*长度）4．关于q，单位（力*长度），沿着z方向为正面力体力22ttqzzdz§13-3薄板应力和内力相互关系复习薄板弹性曲面微分方程一.应力内力(13-12)关于(13-12)的说明1.体现薄板内力特征(只有弯曲内力)截面三个弯曲内力截面三个弯曲内力2.弯曲内力量纲弯矩、扭矩为[力]剪力为[力][长度]3.弯曲内力与挠度的关系是w的二阶偏导数是w的二阶偏导数是w的三阶偏导数5.内力与应力的显式关系例梁与板的对照AAAAAMMxyyzAA二.建立(13-10)的第二条路径——内力与横向载荷平衡得到(13-10)板弯曲问题基本方程(13-10)板的边界条件分类板的边界条件分类支撑情况图示讨论固支边抗弯抗扭刚度均很大简支边抗弯刚度大抗扭刚度小若y=b分布自由边抗弯抗扭刚度均小扭矩转换产生角点力强自由边抗弯适中抗扭小方向量纲关于定解条件的说明1.角点力角点条件角点力产生——自由边扭矩等效转换为横向剪力时未被抵消的力角点条件两个自由边相交必须提出一个角点条件三个自由边则要提出两个角点条件角点条件类型（1）若B点有支撑（2）若B点有支撑沉陷（3）若B点无支撑（4）若B点有集中力2.角点力能否与弯曲内力叠加？3.角点力能否与叠加？4.自由边扭矩转换为等效横向剪力与合并为5.写出下列板的边界条件写出x=a边界条件及B点和C点角点条件OBACabxyz写出x=a边界条件BC边B点abzABCyxO§13-5解法概述逆法算例一、解法概述*1.正解法从方程解出含有待定系数的w满足边界条件确定系数*2.逆解法预先满足边条选取具有待定系数w用满足(13-10)定系数*3.半逆法预先满足部分边条选取有待定系数的w用满足(13-10)及余下的边条定系数4.迭加法综合逆法、半逆法或正解法解决复杂边条复杂荷载的板问题5.有限元法6.差分法7.变分法二、逆法解题算例1.分析边条2.满足边条选取w(x,y)（含待定系数）3.满足方程定系数4.欲求内力把w代入(13-12)一.建立问题的边界条件1）边界方程2）边界条件22221xyab222222122100xyabxyabwwn二.选取满足边条的挠度表达式选取检验时222221xywmab22221xyab200wm22222222222221210三.确定待定系数m4444422424Dwq44224248242wmmaabb代入方程042243238Dmqaabb042243238qmDaabb四.m代入所设w这是周边固支椭圆板在均布荷载下的挠度表达式222022422413238qxywabDaabb六.求内力w代入（13-12）求内力2222042224222422431313232xqxyyxMaabababbaabb2222042224222422431313232xqxxyyMbabbaabaaabb§13-6双正弦级数解法—Navier法（逆法经典解法之一）适用范围四边简支矩形任意横向荷载优点思路明确解法简洁缺点只适用于四边简支矩形薄板收敛慢解法步骤一建立问题的边条二满足边条选取三确定待定系数将w代入(13-10)令其满足以下推导,,mwxyA11sinsinmmnmxnxwAabmA22242200222422sinsin,,sinsin4,sinsinmmnabmnmnmnmnmxnyDAqxyababmxnyqxyCabmxnyCqxydxdyababCAmnDab四回代w定解五mnA(1312)w§13-7单正弦级数解—levy法及叠加法课程回顾1.Navier法把挠度设为什么形式？2.Navier法的适用范围？3.Navier法所设的挠度预先满足什么？w中的如何确定？4.如果遇到的不是四边简支的矩形薄板而是对边简支对边为任意边界的矩形薄板怎样选取挠度函数呢边界条件对边简支对边任意矩形荷载条件任意横向优点思路明确适用面较Navier略宽缺点确定边条更加复杂的薄板仍力不从心q(x,y)一边界条件任意边界（固支或自由或简支）任意边界（固支或自由或简支）二选取w(x,y)原则1.满足部分边条x=const2.含有待定系数（为y的函数）满足（13-10）定满足边条三定w中的函数将所设w带入(13-10)得荷载展开由边条定代回四求内力§13-补充叠加法原问题问题1问题2图示方程边条解答原问题问题1问题2问题3图示方程边条解答原问题问题1问题2问题3图示方程边条解答例原问题=问题1+问题2为定需满足原问题的边界条件满足转角条件确定由及分别对及求y的一阶偏导代入边条将代入中问题的解为§13-8圆形薄板弯曲弹性曲面微分方程矩形板直极坐标转换圆形板内力（弯曲内力）矩形板圆形板边界条件固支简支自由强自由角点条件矩形板圆形板无扇形板有说明：1.分类相同2.自由边扭矩转换为等效横向剪力相同3.用内力和位移表示边条相同4.圆板没有角点条件扇形板有角点条件§13-9圆形薄板轴对称弯曲问题轴对称弯曲条件几何材料边条载荷均关于z轴对称则挠度弹性曲面微分方程为齐次解特解解外域解内域解关于解的说明1.(13-36)是环形薄板的解四个待定系数分别由内、外两个边条定解2.若为圆板则解中的解为，导致不符合实际，导致不符合实际3.若圆板中心有集中力p作用或有支撑则应保留项0§13-10圆形板轴对称问题算例序号算例载荷解答定解条件特解1234序号算例载荷解答定解条件特解56无均布载荷7无均布载荷8上下§13-11圆形薄板在静水压力下的弯曲一.问题的提出二.求解反对称荷载作用下的1.载荷函数2.方程3.特解求出4.齐次解（分离变量）中心不开孔，为了不至中心挠度无限大则全解为