北京市人大附中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

试卷第1页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前北京市人大附中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．设集合𝐴={𝑎,𝑎2,0}，𝐵={2,4}，若𝐴∩𝐵={2}，则实数a的值为（）A．2B．±2C．√2D．±√22．计算log2√163的结果是（）A．43B．34C．－43D．－343．下列函数中，是偶函数的是（）A．𝑓(𝑥)=1𝑥B．𝑓(𝑥)=lg𝑥C．𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒−𝑥D．𝑓(𝑥)=|𝑥|4．函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥−4的零点所在的区间是（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)5．已知𝑓(𝑥+1)=√𝑥，则函数𝑓(𝑥)的大致图像是（）A．B．C．D．试卷第2页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6．设a＝log25，b＝log35，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．b＞a＞cD．c＞a＞b7．已知𝑥∈[1,2]，𝑥2−𝑎𝑥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1,+∞)B．(1,+∞)C．(−∞,1]D．(−∞,1)8．设函数𝑓(𝑥)=1+[𝑥]−𝑥，其中[𝑥]表示不超过x的最大整数，若函数𝑦=log𝑎𝑥的图象与函数𝑓(𝑥)的图象恰有3个交点，则实数a的取值范围是（）A．[2,3)B．(2,3]C．(3,4]D．[3,4)试卷第3页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9．计算：𝑒ln1＝________.10．已知集合𝐴={𝑥|𝑥1}，𝐵={𝑥|𝑥𝑎}，若𝐴⊆𝐵，则实数𝑎的取值范围是______.11．函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑎−𝑎𝑥)(0𝑎1)的定义域为__________.12．已知𝑓(𝑥)＝{𝑥2−1,  𝑥≤1−𝑥+1,  𝑥1，则𝑓[𝑓(−1)]＝_________；若𝑓(𝑥)=−1，则𝑥=________．13．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−2𝑥−2在区间[1,+∞)上不．单调，则实数a的取值范围是________.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为𝑥和𝑦，且𝑦是𝑥在映射𝑓作用下的象，则下列说法中：①映射𝑓的值域是[0,√3]；②映射𝑓不是一个函数；③映射𝑓是函数，且是偶函数；④映射𝑓是函数，且单增区间为[6𝑘,6𝑘+3](𝑘∈𝑍)，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．15．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥12−log12𝑥，若0＜𝑎＜𝑏＜𝑐，且满足𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)𝑓(𝑐)0(0𝑎𝑏𝑐)，则下列说法一定正确的是______.①𝑓(𝑥)有且只一个零点②𝑓(𝑥)的零点在(0,1)内③𝑓(𝑥)的零点在(𝑎,𝑏)内④𝑓(𝑥)的零点在(𝑐,+∞)内16．关于函数𝑓(𝑥)=√𝑥2−𝑥4|𝑥−1|−1的性质描述，正确的是___①𝑓(𝑥)的定义域为[−1,0)∪(0,1]②𝑓(𝑥)的值域为(−1,1)试卷第4页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………③𝑓(𝑥)在定义域上是增函数④𝑓(𝑥)的图象关于原点对称17．在同一直角坐标系下，函数𝑦= 𝑎𝑥与𝑦= log𝑎𝑥(𝑎0,𝑎≠1)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①.32②.43③.75④.10718．已知函数𝑓(𝑥)={𝑥3+𝑎,𝑥0𝑥+1, 𝑥≤0在R上是增函数，则实数𝑎的取值范围是________．19．非空有限数集𝑆满足：若𝑎,𝑏∈𝑆，则必有𝑎𝑏∈𝑆．请写出一个．．满足条件的二元数集S＝________．20．已知直线𝑦=𝑎𝑥上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数𝑦=ln𝑥的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a的值：________．评卷人得分三、解答题21．已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥0}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥−𝑚0}.（1）求∁𝑅𝐴；（2）若𝐴∩𝐵=∅，求实数m的取值范围．22．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎−21+2𝑥是定义在R上的奇函数．（1）求𝑓(𝑥)的解析式及值域；（2）判断𝑓(𝑥)在R上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．试卷第5页，总5页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？24．若函数𝑓(𝑥)的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数𝑓(𝑥)为“0-1函数”.（1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①𝑦=𝑥−1；②𝑦=−𝑥2+2𝑥.（2）若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏是“0-1函数”，求𝑓(𝑥)；（3）设𝑔(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥(𝑎0,𝑎≠1)，定义在R上的函数ℎ(𝑥)满足：①对∀𝑥1,𝑥2∈R，均有ℎ(𝑥1𝑥2+1)=ℎ(𝑥1)⋅ℎ(𝑥2)−ℎ(𝑥2)−𝑥1+2；②𝑔[ℎ(𝑥)]是“0-1函数”，求函数ℎ(𝑥)的解析式及实数a的值．答案第1页，总13页参考答案1．D【解析】【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．【详解】∵集合𝐴={𝑎,𝑎2,0}，𝐵={2,4}，𝐴∩𝐵={2}，∴a=2或a2=2，即a=2或±√2，当a=2时，A={2，4，0}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意；当a=√2时，A={√2，2，0}，满足题意，当a=−√2时，A={−√2，2，0}，满足题意故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了元素的三要素，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．A【解析】【分析】先把√163化为243，再利用对数的运算性质得到对数的值.【详解】log2√163=log2243=43，故选A.【点睛】对数有如下的运算规则：（1）log𝑎𝑀+log𝑎𝑁=log𝑎(𝑀𝑁)(𝑎0,𝑎≠1,𝑀0,𝑁0)，log𝑎𝑀−log𝑎𝑁=log𝑎𝑀𝑁(𝑎0,𝑎≠1,𝑀0,𝑁0)；（2）𝑎log𝑎𝑁=𝑁(𝑎0,𝑎≠1,𝑁0)；（3）log𝑎𝑝𝑏𝑞=𝑞𝑝log𝑎𝑏(𝑎0,𝑎≠1,𝑏0,𝑝≠0)；（4）log𝑎𝑏=log𝑐𝑏log𝑐𝑎(𝑎0,𝑎≠1,𝑏0,𝑐0,𝑐≠1).3．D答案第2页，总13页【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【详解】对于A，𝑓(−𝑥)=−1𝑥=−𝑓(𝑥)，所以为奇函数，不满足题意；对于B，𝑓(𝑥)=lg𝑥的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足题意；对于C，𝑓(−𝑥)=𝑒−𝑥−𝑒𝑥=−𝑓(𝑥)，为奇函数，不满足题意；对于D，𝑓(−𝑥)=|𝑥|=𝑓(𝑥)，为偶函数，满足题意.故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，比较基础．4．B【解析】【分析】因为函数为𝑅上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为𝑦=𝑒𝑥为𝑅上的增函数，𝑦=𝑥−4为𝑅上的增函数，故𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥−4为𝑅上的增函数.又𝑓(1)=𝑒−30，𝑓(2)=𝑒2−24−2=20，由零点存在定理可知𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑥−4在(1,2)存在零点，故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥−1；（2）估算函数的零点，如𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥−5等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.5．A【解析】【分析】利用平移变换即可得到函数𝑓(𝑥)的大致图像.答案第3页，总13页【详解】∵𝑓(𝑥+1)=√𝑥∴函数𝑓(𝑥)的图象是由𝑓(𝑥+1)向右平移一个单位得到，故选：A【点睛】本题考查了函数的图象变换知识，属于基础题.6．B【解析】【分析】可利用𝑦=log3𝑥为(0,+∞)上的增函数得到𝑏,𝑐的大小关系，再利用换底公式得到1𝑎=log52,1𝑏=log53,利用𝑦=log5𝑥为(0,+∞)上的增函数可得𝑎,𝑏的大小关系，最后得到𝑎,𝑏,𝑐的大小关系.【详解】因为𝑦=log3𝑥为(0,+∞)上的增函数，故log35log32，故𝑏𝑐.又由换底公式可知1𝑎=log52,1𝑏=log53，因𝑦=log5𝑥为(0,+∞)上的增函数，故0log52log531，故01𝑎1𝑏1即𝑎𝑏1，综上，𝑎𝑏𝑐，故选B.【点睛】本题考察对数的大小比较，属于基础题.7．D【解析】【分析】因𝑥∈[1,2]，故原不等式等价于𝑥−𝑎0在[1,2]上恒成立，故可得实数𝑎的取值范围.【详解】因为𝑥∈[1,2]，故𝑥0，故𝑥2−𝑎𝑥0在[1,2]上恒成立等价于𝑥−𝑎0在[1,2]上恒成立，故1−𝑎