第1讲等差数列、等比数列[考情分析]1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现.2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点.考点一等差数列、等比数列的基本运算核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d.(2)等比数列的通项公式:an=a1qn-1.(3)等差数列的求和公式:Sn=na1+an2=na1+nn-12d.(4)等比数列的求和公式:Sn=a11-qn1-q=a1-anq1-q,q≠1,na1,q=1.例1(1)(2022·南通调研)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S5=4a4,则S12a5等于()A.10B.14C.15D.18(2)(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an},则log2(a3·a5)的值为()A.8B.10C.12D.16规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量,首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为an=p·qn-1(p,q≠0)的形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置,所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.跟踪演练1(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6等于()A.14B.12C.6D.3(2)(2022·广东联考)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成,最中间的是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为a1,a2,a3,…,a9,设数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,且a2=18,a4+a6=90,则()A.a1=6B.{an}的公差为7C.a6=3a3D.S9=405考点二等差数列、等比数列的性质核心提炼1.通项性质:若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则对于等差数列,有am+an=ap+aq=2ak,对于等比数列,有aman=apaq=a2k.2.前n项和的性质:(1)对于等差数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等差数列;对于等比数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列(q=-1且m为偶数时除外).(2)对于等差数列有S2n-1=(2n-1)an.例2(1)(2022·雅安模拟)已知{an}是等比数列,Sn是其前n项积,若S7S2=32,则S9等于()A.1024B.512C.256D.128(2)(2022·南昌模拟)已知公差不为0的等差数列{an}满足a25+a26=a27+a28,则()A.a6=0B.a7=0C.S12=0D.S13=0规律方法等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系,抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解.(2)用性质,数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.跟踪演练2(1)若数列{an}为等比数列,且a1+a2=1,a3+a4=2,则a15+a16等于()A.32B.64C.128D.256(2)已知数列{an}是等差数列,若a9+a120,a10·a110,且数列{an}的前n项和Sn有最大值,那么当Sn0时,n的最大值为()A.10B.11C.20D.21考点三等差数列、等比数列的判断核心提炼等差数列等比数列定义法an+1-an=dan+1an=q(q≠0)通项法an=a1+(n-1)dan=a1qn-1中项法2an=an-1+an+1(n≥2)a2n=an-1an+1(n≥2,an≠0)前n项和法Sn=an2+bn(a,b为常数)Sn=kqn-k(k≠0,q≠0,1)证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.例3(2022·连云港模拟)若数列{an}满足:a1=1,a2=5,对于任意的n∈N*,都有an+2=6an+1-9an.证明:(1)数列{an+1-3an}是等比数列;(2)数列an3n为等差数列,并求{an}的通项公式.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________易错提醒(1)a2n=an-1an+1(n≥2,n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件,也就是判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0.(2){an}为等比数列,可推出a1,a2,a3成等比数列,但a1,a2,a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列.(3)证明{an}不是等比数列可用特值法.跟踪演练3(2022·湖北七市(州)联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=3Sn-2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:对任意的m∈N*,Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________