专题二 第1讲　平面向量 (21)

第1讲平面向量[考情分析]1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查，中低等难度．考点一平面向量的线性运算核心提炼共线定理及推论(1)已知向量a＝(x1，y1)，a≠0，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.(2)若OA→＝λOB→＋μOC→，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.例1(1)(2022·德州模拟)如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口，可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设AB→＝a，AF→＝b，若BM→＝MC→，EF→＝3EN→，则MN→等于()A.56a＋76bB．－56a＋76bC．－35a＋16bD.35a＋16b(2)在△ABC中，AE→＝－2CE→，F为边AB上一点，BE与CF交于点O，若AO→＝14AB→＋yAC→，则y等于()A.12B.23C.34D．2规律方法向量线性运算问题的求解方法(1)进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四边形法则、三角形法则求解．(2)应用平面几何知识，如三角形的中位线、相似三角形的性质等，可以简化运算．(3)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．跟踪演练1(1)(2022·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，若BM→＝a，BN→＝b，则BD→等于()A.34a＋23bB.23a＋23bC.34a＋34bD.23a＋34b(2)(2022·张家口检测)已知向量a＝(1－2m，1)，向量b＝(3m＋1,2)，若a∥b，则实数m＝________.考点二平面向量的数量积核心提炼1．若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.例2(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于()A．－6B．－5C．5D．6(2)(2022·益阳调研)如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则AP→·(AB→＋AC→)()A．为定值10B．为定值6C．最大值为18D．与P的位置有关规律方法求向量数量积的三种方法(1)定义法．(2)利用向量的坐标运算．(3)利用数量积的几何意义．跟踪演练2(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则AF→·AE→等于()A．3B．2C.32D.12(2)(2022·厦门集美中学模拟)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)·(a－c)＝0，|b－c|＝9，则|a|＝________.考点三平面向量的综合应用核心提炼向量求最值的常用方法(1)利用三角函数求最值．(2)利用基本不等式求最值．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值．例3(1)(2022·临川模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足|AD|＝13|AC|，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足AQ→＝xAB→＋yAC→，则1x＋1y的最小值为()A．4B．43C．8D．4＋23(2)已知在菱形ABCD中，AC＝22，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为()A.255B.55C.12D.33规律方法用向量法解决平面几何问题，通常是建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利用向量的坐标运算解有关问题，这样可以避免繁杂的逻辑推理，同时加强了数形结合思想在解题中的应用．跟踪演练3(1)在平面四边形ABCD中，AC→＝(－2,3)，BD→＝(6,4)，则该四边形的面积为()A.52B．252C．13D．26(2)(2022·漳州质检)已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则PB→·PC→的取值范围为()A.－14，2B.－14，4C．[0,2]D．[0,4]