专题六 第1讲　直线与圆 (29)

第1讲直线与圆[考情分析]1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.例1(1)(2022·常德模拟)已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2022·济宁模拟)已知直线l1：kx＋y＝0过定点A，直线l2：x－ky＋22＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为______．易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1(1)已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a的值是()A．1B．－1C．－2或1D．2或1(2)若直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x＋my＋1＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为________．考点二圆的方程核心提炼1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0，表示以－D2，－E2为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．例2(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2(2)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(1,0)，C(0，3)，动点P满足|PA|＝2|PB|.则点P的轨迹方程为________________．△PAC的面积的最大值为________．规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2(1)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．(2)直线l过定点(1，－2)，过点P(－1,0)作l的垂线，垂足为M，已知点N(2,1)，则|MN|的最大值为________．考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系例3(1)(2022·南通模拟)在平面直角坐标系中，已知直线ax－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2x－3＝0交于A，B两点，若钝角△ABC的面积为3，则实数a的值是()A．－34B．－43C.34D.43(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________.考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2022·武汉模拟)圆C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C2：(x－5)2＋y2＝16的公切线条数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知直线l：x－y＋1＝0，若P为l上的动点，过点P作⊙C：(x－5)2＋y2＝9的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为__________．规律方法直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3(1)(2022·湖北七市(州)联考)已知直线l：kx－y－k＋1＝0，圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝16，则下列选项中不正确的是()A．直线l与圆C一定相交B．当k＝0时，直线l与圆C交于M，N两点，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最大值为77C．当直线l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为26D．若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．