专题1 微重点1　函数的新定义问题 (48)

微重点1函数的新定义问题函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力．考点一特征函数考向1高斯函数例1(2022·长治模拟)已知函数f(x)＝x－[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]＝1，[－0.5]＝－1)，则以下关于f(x)的性质说法错误的是()A．f(x)是R上的增函数B．f(x)是周期函数C．f(x)是非奇非偶函数D．f(x)的值域是[0,1)考向2狄利克雷函数例2德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名字命名的函数f(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是()A．f(x)的定义域为{0,1}B．f(x)的值域为[0,1]C．∃x∈R，f(f(x))＝0D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立考向3黎曼函数例3(2022·新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式如下：R(x)＝1p，x＝qpp，q都是正整数，qp是既约真分数，0，x＝0，1或[0，1]上的无理数.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f(2022)＋f－20225＝________.考向4欧拉函数例4(2022·重庆八中调研)若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，则下列说法正确的是()A．φ(5)＝φ(10)B．φ(2n－1)＝1C．φ(32)＝15D．φ(2n＋2)φ(2n)，n∈N*规律方法以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决．跟踪演练1(1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgnx＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则()A．sgn[f(x)]0B．f20212＝1C．sgn[f(2k＋1)]＝1(k∈Z)D．sgn[f(k)]＝|sgnk|(k∈Z)(2)(2022·滁州模拟)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有着广泛的实际应用．最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinhx＝ex－e－x2和双曲余弦函数coshx＝ex＋e－x2.令f(x)＝sinhxcoshx，得到下面的结论：①f(x)为偶函数；②f(x)为奇函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递增；④f(x)在(0，＋∞)上单调递减．其中正确的是()A．①③B．②③C．①④D．②④考点二“新定义”函数的性质、运算法则等例5(1)(2022·德州质检)定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x3；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的为()A．①②B．③④C．①③D．②④(2)函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1与x2，有gx1＋x22gx1＋gx22时，我们称函数g(x)在[a，b]上“严格上凹”，称函数g(x)在[a，b]上为“凹函数”，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)0.则下列函数中在所给定义域上“严格上凹”的是()A．f(x)＝log2x(x0)B．f(x)＝2ex＋xC．f(x)＝－x3＋2xD．f(x)＝sinx－x2(0xπ)规律方法利用函数的凹凸性可以考查函数值增减的快慢，即考查导函数的几何意义．进一步可以利用二阶导数来新定义凹凸函数：二阶导数在给定区间上恒为正值，则说明函数是凹函数，否则函数不是凹函数.跟踪演练2(1)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“新不动点”，给出下列函数：①g(x)＝12x2；②g(x)＝－ex－2x；③g(x)＝lnx；④g(x)＝sinx＋2cosx.其中只有1个“新不动点”的函数是________．(填序号)(2)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(ⅰ)a★b＝b★a；(ⅱ)a★0＝a；(ⅲ)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.若函数f(x)＝x★1x，则下列说法正确的是________．(填序号)①函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；④函数f(x)不是周期函数．