专题1 微重点3　导数中的函数构造问题 (50)

微重点3导数中的函数构造问题导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．考点一导数型构造函数考向1利用f(x)与x构造例1(2022·苏州质检)已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log218·flog218，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cbaC．acbD．cab规律方法(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝fxxn.跟踪演练1已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)－fxx－30，且f(1)＝0，则不等式f(ex)－3xex0的解集为()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(e，＋∞)考向2利用f(x)与ex构造例2(2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)f′(x)恒成立，其中e是自然对数的底数，则()A．f(2022)ef(2023)B．ef(2022)f(2023)C．ef(2022)＝f(2023)D．ef(2022)f(2023)规律方法(1)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝fxenx.跟踪演练2(2022·成都模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)0，且f(3)＝3，则f(x)3e3－x的解集为________．考向3利用f(x)与sinx，cosx构造例3偶函数f(x)的定义域为－π2，π2，其导函数为f′(x)，若对任意的x∈0，π2，有f′(x)cosxf(x)sinx成立，则关于x的不等式2f(x)fπ3cosx的解集为________．规律方法函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；(2)F(x)＝fxsinx，F′(x)＝f′xsinx－fxcosxsin2x；(3)F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；(4)F(x)＝fxcosx，F′(x)＝f′xcosx＋fxsinxcos2x.跟踪演练3已知奇函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)在0，π2上恒有fxsinxf′xcosx成立，则下列不等式成立的是()A.2fπ6fπ4B．f－π33f－π6C.3f－π42f－π3D.2fπ33fπ4考点二同构法构造函数例4已知a0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－alnx成立，则a的最小值为________．规律方法指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex，然后构造函数；另一种是将x变成elnx，然后构造函数．跟踪演练4已知a0，b0，且(a＋1)b＋1＝(b＋3)a，则()A．ab＋1B．ab＋1C．ab－1D．ab－1