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第5讲函数的极值、最值[考情分析]利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题．考点一利用导数研究函数的极值核心提炼判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．(2)利用函数f′(x)的单调性可得函数的极值点．例1(2022·百师联盟联考)已知函数f(x)＝a2x2－(2a2－a＋1)x＋(2a－1)lnx＋2，其中a≠0.(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)当a0且a≠1时，f(x)存在一个极小值点x0，若x03.求实数a的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________易错提醒(1)不能忽略函数的定义域．(2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性．(3)函数的极小值不一定比极大值小．跟踪演练1(1)(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则()A．abB．abC．aba2D．aba2(2)(2022·安康模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为()A.－12，0B.－∞，－12C.0，12D.12，＋∞考点二利用导数研究函数的最值核心提炼1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．例2(1)(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋bx取得最大值－2，则f′(2)等于()A．－1B．－12C.12D．1(2)已知函数f(x)＝x＋1，x≤0，lnx，x0，若f(x1)＝f(x2)且x1x2，则x2－x1的最小值为()A．2－ln2B．eC．2D.2易错提醒(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论．(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值．跟踪演练2(1)(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为()A．－π2，π2B．－3π2，π2C．－π2，π2＋2D．－3π2，π2＋2(2)(2022·芜湖模拟)已知关于x的不等式x3－ax2≥lnx恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，1]B．(0,1]C.0，1eD．(－∞，0]考点三极值、最值的简单应用例3(2022·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax2－2x＋lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)≤t恒成立，则实数t的最小值为________．易错提醒方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法．分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视．跟踪演练3若函数f(x)＝x2＋a2＋blnx(a，b∈R)有极小值，且极小值为0，则a2－b的最小值为()A．eB．2eC.1e2D．－1e2