专题7 第1讲　坐标系与参数方程 (57)

第1讲坐标系与参数方程[考情分析]本节内容在高考中主要考查极坐标、参数方程与普通方程的相互转化，以及直线与曲线的位置关系等，中等难度．考点一极坐标方程核心提炼直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.例1(2022·西安模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的方程为x2＋(y－1)2＝1，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)曲线C3：θ＝αρ0，0απ2分别交曲线C2和曲线C1于点A，B，求|OB||OA|的最大值及相应α的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________易错提醒在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．跟踪演练1(2022·安阳模拟)在直角坐标系xOy中，⊙C1的圆心为C1(1,1)，半径为2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C2的极坐标方程为ρ＝22cosθ.(1)求⊙C1的极坐标方程，并判断⊙C1，⊙C2的位置关系；(2)求经过曲线C1，C2交点的直线的斜率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点二参数方程核心提炼常见曲线的参数方程(1)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程为x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα.(α为参数)当圆心在(0,0)时，方程为x＝rcosα，y＝rsinα.(α为参数)(2)椭圆椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ.(φ为参数)椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的参数方程为x＝bcosφ，y＝asinφ.(φ为参数)(3)直线经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.(t为参数)例2(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋t6，y＝t(t为参数)，曲线C2的参数方程为x＝－2＋s6，y＝－s(s为参数)．(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ－sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方和(差)消参法、乘法消参法、混合消参法等．把曲线C的普通方程F(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．跟踪演练2(2022·海东模拟)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为x＝－3t，y＝t(t为参数)．曲线C2的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)若曲线C1，C2的交点为A，B，已知P(3，－1)，求|PA|·|PB|.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三极坐标与参数方程的综合应用核心提炼解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．例3(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cos2t，y＝2sint(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π3＋m＝0.(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．跟踪演练3(2022·张掖模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3t，y＝1－t2(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π6＝3.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)在极坐标系中，射线α＝π6(ρ≥0)与曲线C1交于点A，射线α＝π3(ρ≥0)与曲线C2交于点B，求△AOB的面积．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________