专题2 第1讲 三角函数的图象与性质 (70)

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第1讲三角函数的图象与性质[考情分析]1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质,主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查,难度为中等或偏下.考点一三角函数的运算核心提炼1.同角关系:sin2α+cos2α=1,sinαcosα=tanαα≠kπ+π2,k∈Z.2.诱导公式:在kπ2+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.例1(1)(2022·菏泽检测)已知角α的终边经过点(-1,2),则cos2α等于()A.-45B.-35C.-15D.35(2)已知sin-π2-αcos-7π2+α=1225,且0απ4,则sinα=________,cosα=________.二级结论(1)若α∈0,π2,则sinααtanα.(2)由(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα知,sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα知一可求二.跟踪演练1(1)(2022·山西联考)若sin10°=asin100°,则sin20°等于()A.aa2+1B.-aa2+1C.2aa2+1D.-2aa2+1(2)已知2cosα+3π2=cos(α-π),则sin2α+cos2α=________.考点二三角函数的图象与解析式核心提炼由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)图象的步骤例2(1)(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sinx-π4的图象,则f(x)等于()A.sinx2-7π12B.sinx2+π12C.sin2x-7π12D.sin2x+π12(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0)的部分图象如图所示,则f(x)=______.(填序号)①2sin2x+2π3;②2sin2x-5π3;③2cos2x-π6;④2cosx-7π6.规律方法由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A0,ω0)中参数的值(1)最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则M=A+B,m=-A+B,解得B=M+m2,A=M-m2.(2)T定ω:由周期的求解公式T=2πω,可得ω=2πT.(3)特殊点定φ:代入特殊点求φ,一般代最高点或最低点,代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势.跟踪演练2(1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是()A.16B.14C.13D.12(2)(2022·黄山模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,-πφ0)的部分图象如图所示,为了得到y=f(x)的图象,需将函数g(x)=Acosωx的图象至少向右平移()A.π3个单位长度B.π4个单位长度C.π6个单位长度D.2π3个单位长度考点三三角函数的性质核心提炼函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的性质(1)单调性:由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间,由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间.(2)对称性:由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得对称中心;由ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)可得对称轴.(3)奇偶性:φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+π2(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)=sinωx+π4+b(ω0)的最小正周期为T.若2π3Tπ,且y=f(x)的图象关于点3π2,2中心对称,则fπ2等于()A.1B.32C.52D.3(2)(2022·赣州模拟)已知函数f(x)=sinωx+π4(ω0)相邻两条对称轴之间的距离为2π,若f(x)在(-m,m)上单调递增,则m的取值范围是()A.0,π4B.0,π2C.0,3π4D.0,3π2规律方法研究三角函数的性质,首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式,然后结合正弦函数y=sinx的性质求f(x)的性质,此时有两种思路:一种是根据y=sinx的性质求出f(x)的性质,然后判断各选项;另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围,然后由y=sint的性质判断各选项.跟踪演练3(1)(2022·桂林模拟)已知函数f(x)=cosx()sinx-3cosx,则()A.f(x)的周期为2πB.f(x)在区间-π6,π6上单调C.f(x)的图象关于直线x=-π12对称D.f(x)的图象关于点π6,0对称(2)(2022·广州联考)若函数y=tanωx+π4在-π3,π3上单调递减,且在-π3,π3上的最大值为3,则ω=________.

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