专题5 第1讲　计数原理与概率 (74)

第1讲计数原理与概率[考情分析]1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用．考点一排列与组合问题核心提炼解决排列、组合问题的一般过程(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．例1(1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A，B，C三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求A，B，C三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法有()A．14种B．11种C．8种D．5种(2)(2022·衡阳模拟)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时，创意新颖，惊艳了全球观众，某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？()A．192B．240C．120D．288规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．跟踪演练1(1)2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有()A．144种B．336种C．672种D．1008种(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为()A．12B．14C．16D．18考点二二项式定理核心提炼1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式即得所求．2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．例2(1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．(2)已知x＋ax4n的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a的值为________，展开式中的常数项为________．易错提醒二项式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝Cknan－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中Ckn是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．跟踪演练2(1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，则a6等于()A．－448B．－112C．112D．448(2)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则下列结论正确的是________．①展开式中各项系数和为1；②展开式中所有项的二项式系数和为22023；③a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝－2；④a0＋a12＋a222＋…＋a202322023＝0.考点三概率核心提炼1．古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的样本点数试验的样本点总数.2．几何概型概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积3．条件概率公式设A，B为两个随机事件，且P(A)0，则P(B|A)＝PABPA.例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.23(2)(2022·临沂模拟)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是________．(填序号)①A1，A2，A3两两互斥；②P(B|A2)＝25；③P(B)＝12；④B与A1相互独立．规律方法求概率的方法与技巧(1)古典概型、几何概型、条件概率分别用各自的公式求解．(2)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．跟踪演练3(1)有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为()A.13B.23C.12D.14(2)(2022·莆田模拟)从0,1,2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：“恰好抽的是2,4,6”，记B为事件：“恰好抽取的是6,7,8”，记C为事件：“抽取的数字里含有6”．则下列说法正确的是()A．P(AB)＝P(A)P(B)B．P(C)＝110C．P(C)＝P(AB)D．P(A|C)＝P(B|C)