微重点13离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型,对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键,相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围例1(1)(2022·南京模拟)设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足∠F1PF2=π3,则e1e2的最小值为()A.32B.32C.34D.34(2)(2022·杭州模拟)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线l与椭圆C相交于M,N两点(点M在第一象限).若|MN|=|F1F2|,|NF1||MF1|≥33,则椭圆C的离心率e的最大值为()A.6-12B.6-1C.3-12D.3-1规律方法此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义,以及余弦定理或勾股定理,构造关于a,b,c的不等式或不等式组求解,要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.跟踪演练1(2022·嘉兴模拟)如图,已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O为坐标原点,其渐近线与圆x2+y2=a2在第二象限交于点P,过P作圆的切线过双曲线的左焦点且与右支交于点Q,若|PQ||QF2|+25|OF2|,则双曲线的离心率的取值范围是________.考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围例2(1)(2022·西安模拟)圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形,过上底面圆弧上任意一点F作平面与圆柱的侧面相交,则相交所得到曲线的离心率的最大值为()A.12B.22C.2D.2(2)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),点P是C上任意一点,若圆O:x2+y2=b2上存在点M,N,使得∠MPN=120°,则C的离心率的取值范围是()A.0,32B.32,1C.0,12D.12,1规律方法利用圆锥曲线的性质,如:椭圆的最大角,通径,三角形中的边角关系,曲线上的点到焦点距离的范围等,建立不等式(不等式组).跟踪演练2(2022·运城模拟)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A(a,0),Q(3a,0)在x轴上,若双曲线C上存在一点P(异于点A)使得AP⊥PQ,则C的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(2,+∞)C.(1,2]D.(1,2)考点三利用几何图形的性质求离心率的范围例3(1)(2022·乐清模拟)设F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,若在直线x=-a2c(c为半焦距)上存在点P,使|PF1|的长度恰好为椭圆的焦距,则椭圆离心率的取值范围为()A.0,33B.33,1C.0,22D.22,1(2)(2022·萍乡模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P,Q两点,若cos∠PAQ≥-35,则该双曲线离心率的取值范围是()A.(1,13]B.1,132C.1,213D.[21,+∞)规律方法利用几何图形中几何量的大小,例如线段的长度、角的大小等,构造几何度量之间的关系.跟踪演练3(2022·长沙市雅礼中学等十六校联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若C与直线y=x有交点,且双曲线上存在不是顶点的点P,使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则双曲线离心率的取值范围为____________.