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第1讲空间几何体[考情分析]空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上．考点一三视图与直观图核心提炼1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．3．S直观图＝24S原图．例1(1)(2022·全国甲卷)如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A．8B．12C．16D．20(2)如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为________．规律方法由三视图还原直观图的方法(1)注意图中实、虚线，分别是原几何体中的可视线与被遮挡线．(2)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整，准确画出原几何体．(3)由三视图还原直观图时，往往采用削体法，选定一个视图，比如俯视图，然后逐步削切正方体等几何载体．跟踪演练1(1)(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______(写出符合要求的一组答案即可)．(2)(2022·运城模拟)某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如图2所示，其中O′A′＝O′B′，O′C′＝3，则该几何体的表面积为()A．36＋123B．24＋83C．24＋123D．36＋83考点二表面积与体积核心提炼1．旋转体的侧面积和表面积(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．2．空间几何体的体积公式(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．(2)V锥＝13Sh(S为底面面积，h为高)．(3)V台＝13(S上＋S上·S下＋S下)h(S上，S下为底面面积，h为高)．(4)V球＝43πR3(R为球的半径)．例2(1)(2022·凌源模拟)五脊殿是宋代传统建筑中的一种屋顶形式．如图所示，其屋顶上有一条正脊和四条垂脊，可近似看作一个底面为矩形的五面体．若某一五脊殿屋顶的正脊长4米，底面矩形的长为6米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊殿屋顶的体积的估计值为()A.323立方米B.643立方米C．32立方米D．64立方米(2)(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙＝2，则V甲V乙等于()A.5B．22C.10D.5104规律方法空间几何体的表面积与体积的求法(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．跟踪演练2(1)(2022·锦州质检)2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”．其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”．“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目．“水立方”的设计灵感来自于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是()A．24(3＋1)B．243＋6C．483＋24D．163＋8(2)(2022·连云港模拟)如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是()A.72π24B.73π24C.72π12D.73π12考点三多面体与球核心提炼求空间多面体的外接球半径的常用方法(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．例3(1)(2022·烟台模拟)如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝VA＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为()A．(2－3)∶1B．(23－3)∶1C．(3－1)∶3D．(3－1)∶2(2)(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A.13B.12C.33D.22规律方法(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解．(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径．跟踪演练3(1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100πB．128πC．144πD．192π(2)(2022·衡水中学调研)将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为________，该组合体的外接球的体积为________．