思想方法 第2讲　数形结合思想 (96)

第2讲数形结合思想思想概述数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．方法一利用数形结合求解函数与方程、不等式问题利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．例1(1)(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|log2x|，x0，3sinπx－cosπx，－53≤x≤0.若方程f(x)＝a恰有四个不同的实数解，分别记为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是()A.－16，1912B.－23，1912C.52，174D.2－8π3，174－8π3________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1，x0，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系．方法二利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．例2(2022·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范围是()A．[0,22＋2]B．[0,2]C．[22－2,22＋2]D．[22－2,2]________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．方法三几何动态问题中的数形结合对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．例3过双曲线x2－y248＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋7)2＋y2＝4和圆C2：(x－7)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．