第02讲 三角函数恒等变换（讲）（原卷版）

第02讲三角恒等变换本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.考点一同角三角函数的基本关系是与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.3.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.4.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.考点二三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝2tanα1－tan2α.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tanφ＝ab.4.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).5.cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.6.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.高频考点一诱导公式的应用【例1】化简cos（π＋α）cosπ2＋αcos11π2－αcos（π－α）sin（－π－α）sin9π2＋α的结果是()A.－1B.1C.tanαD.－tanα【例2】2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sinα＋π3sinα－π3＝tanα＋π3，则角α＝()A.π12B.π6C.π4D.π3【方法技巧】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.高频考点二共线定理及其应用【例3】(1)已知α是第四象限角，tanα＝－815，则sinα等于()A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f(x)＝23x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α＝()A.12B.2C.35D.－38【例4】(2022·东北三省三校联考)若sinθ－cosθ＝43，且θ∈34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝()A.－23B.23C.－43D.43【方法技巧】1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)形如asinx＋bcosxcsinx＋dcosx，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.【变式训练】1.已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tan(π＋α)等于()A.－513B.513C.－125D.1252.(2021·兰州诊断)已知sinα＋cosα＝75，则tanα＝________.高频考点三同角三角函数的基本关系与诱导公式综合应用【例5】(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A.53B.23C.13D.59(2)已知tanπ6－α＝33，则tan5π6＋α＝________.(3)已知cosπ6－θ＝a(|a|≤1)，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________.【方法技巧】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【变式训练】1.已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cosα＋2021π2＝()A.－223B.－13C.223D.132.(2022·九江模拟)已知cosπ6－α＝23，则sinπ6＋2α＝________.高频考点四公式的变形及应用【例6】(1)下列式子化简正确的是()A.cos82°sin52°－sin82°cos52°＝12B.sin15°sin30°sin75°＝14C.tan48°＋tan72°1－tan48°tan72°＝3D.cos215°－sin215°＝32(2)(2021·杭州模拟)函数f(x)＝cosx－sinx＋π6－sinx－π6在[0，π]的值域为()A.[－1，1]B.[－2，1]C.[－2，2]D.－12，1(3)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为________.【方法技巧】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.【变式训练】1.下列选项中，值为14的是()A.2sinπ12sin5π12B.13－23cos215°C.1sin50°＋3cos50°D.cos72°·cos36°2.若α＋β＝2π3，则3tanαtanβ－tanα－tanβ的值为________.高频考点五角的变换【例7】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ＋sinθ＋π3＝1，则sinθ＋π6＝()A.12B.33C.23D.22(2)若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2等于()A.33B.－33C.539D.－69(3)(2022·长春质量监测)若sinθ＋π8＝13，则sin2θ－π4＝________.【方法技巧】1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等.【变式训练】1.(2022·南昌三模)已知sinα＋π6＝13，则cosα－5π6tanπ3－α＝________.【答案】－13【解析】因为sinα＋π6＝13，所以cosα－5π6tanπ3－α＝cosα－5π6·cosπ3－αsinπ3－α＝cosα＋π6－π·cosπ2－α＋π6sinπ2－α＋π6＝－cosα＋π6·sinα＋π6cosα＋π6＝－sinα＋π6＝－13.2.(2021·重庆调研改编)已知sinα2－π4＝33，则cos2α＝________.高频考点六三角函数式的化简【例8】sin（180°＋2α）1＋cos2α·cos2αcos（90°＋α）等于()A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα【例9】化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.【例10】化简：(1tanα2－tanα2)·1＋tanα·tanα2＝________.【方法技巧】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.高频考点七三角函数式求值【例11】(1)(2022·武汉检测)已知sin4x＋3cos4xsin2x－3cos2x＝－12，则cos4x－2π3＝()A.58B.－78C.－58D.14(2)(2022·潍坊模拟)已知α∈0，π2，sinα－π4＝55，则tanα＝________.【例12】求下列各式的值：(1)cosπ9cos2π9cos3π9cos4π9；(2)sin235°－12cos10°·cos80°；(3)sin50°(1＋3tan10°).【例13】(1)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________.【方法技巧】1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好.【变式训练】1.已知tanα＋π3＝32，则3sinα＋cosα3cosα－sinα＝()A.19B.39C.13D.332.(2022·石家庄综合训练)若cosα(1＋3tan10°)＝1，则α的一个可能值为()A.70°B.50°C.40°D.10°高频考点八角的变换【例14】已知函数f(x)＝24sinπ4－x＋64cos