第03讲 解三角形（练）（解析版）

第03讲解三角形一、单选题1．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinsinAB，且2221sincaC，则C（）A．6B．π4C．π3D．34【答案】D【分析】运用正弦定理与余弦定理代换即可.【详解】因为sinsinAB，由正弦定理有ab，根据余弦定理有222222cos22coscababCaaC，且2221sincaC，故有sincosCC，即tan1C，又0,πC，所以3π4C.故选：D.2．在ABC中，已知1,2,60,,ABACBACBCAC边上的两条中线,ADBE相交于点P，则cosDPE（）A．32114B．714C．17D．217【答案】B【分析】由题可得三角形ABC为直角三角，建立坐标系，将问题转化为求AD与BE夹角的余弦即可.【详解】解：因为1,2,60,ABACBAC所以2222cos603BCABACABAC，所以3BC,又因为2224ABBCAC,所以三角形ABC为直角三角，建立如图所示的坐标系，则有：(0,1),(0,0),(3,0)ABC,因为,DE分别为,BCAC中点，所以331(,0),(,)222DE,所以3(,1)2AD,31(,)22BE,所以coscos,||||ADBEDPEADBEADBE=22223311222331()(1)()()222=171427.故选：B.3．已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若1sin,2sin3AbB，则a（）A．23B．32C．6D．16【答案】A【分析】利用正弦定理整理代入运算即可．【详解】由正弦定理sinsinabAB，整理得sin122sin33bAaB故选：A．4．在ABC中，3cos5C，1BC，42AB，则AC（）A．315B．5C．254D．6【答案】B【分析】利用C角的余弦定理即可得到答案【详解】解：在ABC中，由余弦定理得2222cosABACBCACBCC，代入数据得22421235ACAC，因为0AC，解得5AC，故选：B5．在ABC中，若60,3Aa，则sinsinbcBC等于（）A．32B．2C．3D．23【答案】B【分析】根据正弦定理进行求解.【详解】因为sinsinsinabcABC，所以sinsinsinbcaBCA；因为60,3Aa，所以32sin32aA.故选：B.6．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知22223cba，则sinA的最大值为（）A．23B．76C．73D．79【答案】C【分析】先利用余弦定理求出26cosbcAcb，再利用基本不等式求出cosA的范围，最后借助同角三角函数的关系求出sinA的范围，从而求出sinA的最大值.【详解】由222222332coscbabcbcA，整理得26cos22bcAcb，则2227sin1cos133AA，当且仅当2bc时，等号成立.故选：C.二、填空题7．在ABC中，已知3,2ACBC.若D为边AB上的一点，且30ACDo，60BCD，则BD___________.【答案】273【详解】由题意可得：90ACB，则227ABACBC设BDC，则πADC∠在BCD△中，由正弦定理可得sinsinBCBDBDCBCD，整理可得sin3sinsinBCBCDBDBDC在ACD△中，由正弦定理可得sinsinACADADCACD，整理可得sin33sin2sinπ2sinACACDADADC∴2BDAD，则27323BDAC，故答案为：273．8．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边BC上，且AD平分BAC，3AD，sinsin(sinsin)bBaAcBC，sin3sinCB，则ABC的面积为__________.【答案】433【详解】由sinsin(sinsin)bBaAcBC及正弦定理，得22()bacbc，即222bcabc，由余弦定理得1cos2A，又(0,π)A，所以π3A，因为AD平分BAC，所以π6CADBAD，又因为ABCCADBADSSS△△△，即1π1π1πsinsinsin232626bcbADcAD，化简得bcbc；由sin3sinCB及正弦定理，得3cb.与bcbc联立，解得4,43bc.所以433ABCS.故答案为：433三、解答题9．（安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题）已知ABC的内角,,ABC所对的边分别是,,abc，满足cos13sinaAbB.(1)求角A；(2)若2bca，且ABC外接圆的直径为2，求ABC的面积.【答案】(1)π3(2)334【分析】（1）根据题意，把条件进行化简整理，利用辅助角公式，化为单角表示，由角的取值范围，求角；（2）结合正余弦定理，整理化简得bc的值，根据（1）代入面积公式计算得答案.（1）由正弦定理得sincos1sin3sinAABB，因为sin0B，所以3sincos1AA，即π1sin62A，因为0πA，所以ππ5π666A，所以ππ66A，解得π3A；（2）设ABC的外接圆半径为R，则1R，根据正弦定理2sinaRA，得2sin3aRA，所以23bc，由余弦定理得22222cos()33abcbcbcbc，即3123bc，所以3bc，所以ABC的面积为133sin24SbcA.10．（2022·湖南师大附中高二开学考试）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin12cos2sincoscossinBCACAC，且2C.(1)求ab的值；(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，23CDb，求sinB.【答案】(1)2(2)2114【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理求解即可；（2）根据三角形的面积公式，结合ADCBDCSSVV可得2BDAD，根据向量的线性运算可得32CDCACBuuuruuruur，再两边平方结合数量积的运算求解可得23ACB，再在ABC中，由余弦定理与正弦定理求解即可.（1）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，满足sin12cos2sincoscossinBCACACsincossinsincossinACACACB，得：2sincossincosBCAC，因为2C，所以2sinsinBA，由正弦定理得：2,2abab.（2）由（1）得2ab，因为ACB的平分线交AB于点D，且23CDb，记d为C到AB的距离，因为11sin2211sin22ADCBDCADdCACDACDSSBDdCBCDBCD，即ADCABDCB，所以2BDaADb，即2BDAD.,,20CDCAADCDCBBDBDAD，所以32CDCACBuuuruuruur，两边平方，代入23CDb，得：222229448cos4CDbbbACBbuuur，1cos2ACB，在ABC中2π3ACB，在ABC中，由余弦定理得，22222212cos42272cababCbbbbb，7cb在ABC中，由正弦定理得，721,sinsinsin1432bcbBBC.一、单选题1．在ABC中，角ABC､､所对的边分别是,120,abcAD､､是边BC上一点，ABAD且3AD，则2bc的最小值是（）A．4B．6C．8D．9【答案】C【分析】利用正弦定理及60BC，表达出623tantanbcBB，再利用基本不等式求出最值.【详解】如图所示，因为120Ao，所以60BC，在Rt△ABD中，tanADABB，即3tancB，因为1209030CAD，由正弦定理可得：sinsinACADADCC，即3sin90sin60bBB，所以3cossin60BbB，所以3cos233cos232sin60tantan31cossin22BBbcBBBBB32323236tantan313tan3tantantan22BBBBBB，因为060B，所以0tan3B，所以224283tantanbcBB，当且仅当3tantanBB，即3tan2B时，等号成立，所以2bc的最小值为8.故选：C2．ABC中，,,ABC的对边分别为abc，，，则（）A．若abc，则cossinBCB．,AB使得sin()sinsinABABC．,BC都有tantantan()1tantanBCBCBCD．若3sincos2AA，则A是钝角【答案】D【分析】特殊值法判断A、C；B由题设有sin(cos1)sin(1cos)ABBA，进而有coscos1BA即可判断；D由已知得62sin()442A，结合0A即可判断.【详解】A：由题设ABC，若150C，20B，10A，此时cossin()sin2BBC，错误；B：若sin()sinsinABAB，则sin(cos1)sin(1cos)ABBA，而sin,sin0AB，所以coscos1BA，又0AB，故不存在这样的,AB，错误；C：当4BC时tantantan()1tantanBCBCBC不成立，错误；D：由3sincos2sin()42AAA，故62sin()442A，而0A，所以53444A，即2A，正确.故选：D3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，π3A，2bca，△ABC的面积为23，则ABC的周长为（）A．6B．8C．62D．63【答案】C【分析】根据三角形面积可得8bc，结合余弦定理求得22a，继而求得42bc，可得答案.【详解】因为△ABC的面积为23，π3A，故1sin232ABCSbcA，即8bc，由于222222cos8,2abcbcAbcbca，故222()28(2)24abcbca，故22a，所以42bc，所以ABC的周长为62abc，故选：C4．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc．若45,22Ab，且ABC的面积是1，则ABC的外接圆的面积为（）A．5B．52C．102D．4【答案】B【分析】先由已知条件利用三角形面积公式求出c，再利用余弦定理可求出a，然后利用正弦定理求出ABC的外接圆半径，从而可求出ABC的外接圆的面积.【详解】因为45,22Ab，且ABC的面积是1，所以112sin221222bcAc，得1c，由余弦定理得22222cos81222152abcbcA，因为0a，所以5a，设ABC的外接圆半径为r，则由正弦定理得5210sin22arA，得102r，所以ABC的外接圆面积为2210522r，故选：B5．在ABC中，已知D为BC边上的一点，且满足2BACDAC，1ADAC，ABD△的面积是ADC面积的两倍，则ABC的面积为（）A．734B．37