第02讲 三角函数恒等变换（讲）（解析版）

第02讲三角恒等变换本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.考点一同角三角函数的基本关系是与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.3.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.4.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.考点二三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝2tanα1－tan2α.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tanφ＝ab.4.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).5.cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.6.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.高频考点一诱导公式的应用【例1】化简cos（π＋α）cosπ2＋αcos11π2－αcos（π－α）sin（－π－α）sin9π2＋α的结果是()A.－1B.1C.tanαD.－tanα【答案】C【解析】由诱导公式，得原式＝－cosα·（－sinα）·cos3π2－α－cosα·sinα·sinπ2＋α＝－sin2α·cosα－sinα·cos2α＝tanα，故选C.【例2】2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sinα＋π3sinα－π3＝tanα＋π3，则角α＝()A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】C【解析】由条件得sinα＋π3sinα－π3＝sinα＋π3cosα＋π3，又因为α为锐角，所以sinα－π3＝cosα＋π3，即sinα－π3＝sinπ2－α＋π3，所以有α－π3＝π2－α＋π3，解得α＝π4，故选C.【方法技巧】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.高频考点二共线定理及其应用【例3】(1)已知α是第四象限角，tanα＝－815，则sinα等于()A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f(x)＝23x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α＝()A.12B.2C.35D.－38【答案】(1)D(2)C【解析】(1)因为tanα＝－815，所以sinαcosα＝－815，所以cosα＝－158sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝64289，又α是第四象限角，所以sinα＝－817.(2)由f′(x)＝2x2，得tanα＝f′(1)＝2，故sin2α－cos2α2sinαcosα＋cos2α＝tan2α－12tanα＋1＝35.故选C.【例4】(2022·东北三省三校联考)若sinθ－cosθ＝43，且θ∈34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝()A.－23B.23C.－43D.43【答案】A【解析】由sinθ－cosθ＝43得1－2sinθcosθ＝169，即2sinθcosθ＝－79，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝29，又θ∈34π，π，∴sinθ＋cosθ0，∴sinθ＋cosθ＝－23，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sinθ＋cosθ＝－23，故选A.【方法技巧】1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)形如asinx＋bcosxcsinx＋dcosx，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.【变式训练】1.已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tan(π＋α)等于()A.－513B.513C.－125D.125【答案】C【解析】因为α是第四象限角，sinα＝－1213，所以cosα＝1－sin2α＝513，故tan(π＋α)＝tanα＝sinαcosα＝－125.2.(2021·兰州诊断)已知sinα＋cosα＝75，则tanα＝________.【答案】43或34【解析】将sinα＋cosα＝75两边平方得1＋2sinαcosα＝4925，∴sinαcosα＝1225，∴sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝1225，整理得12tan2α－25tanα＋12＝0，解得tanα＝43或tanα＝34.高频考点三同角三角函数的基本关系与诱导公式综合应用【例5】(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A.53B.23C.13D.59(2)已知tanπ6－α＝33，则tan5π6＋α＝________.(3)已知cosπ6－θ＝a(|a|≤1)，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________.【答案】(1)A(2)－33(3)0【解析】(1)由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sinα＝1－cos2α＝1－－232＝53.故选A.(2)∵π6－α＋5π6＋α＝π，∴tan5π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.(3)∵cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a，sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，∴cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.【方法技巧】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【变式训练】1.已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cosα＋2021π2＝()A.－223B.－13C.223D.13【答案】C【解析】∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋3sin2α82＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝89或sin2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sinα＝－223，∴cosα＋2021π2＝cosα＋1010π＋π2＝cosα＋π2＝－sinα＝223，故选C.2.(2022·九江模拟)已知cosπ6－α＝23，则sinπ6＋2α＝________.【答案】－19【解析】因为2π6－α＋π6＋2α＝π2，所以sinπ6＋2α＝sinπ2－2π6－α＝cos2π6－α＝2cos2π6－α－1＝2×49－1＝－19.高频考点四公式的变形及应用【例6】(1)下列式子化简正确的是()A.cos82°sin52°－sin82°cos52°＝12B.sin15°sin30°sin75°＝14C.tan48°＋tan72°1－tan48°tan72°＝3D.cos215°－sin215°＝32(2)(2021·杭州模拟)函数f(x)＝cosx－sinx＋π6－sinx－π6在[0，π]的值域为()A.[－1，1]B.[－2，1]C.[－2，2]D.－12，1(3)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为________.【答案】(1)D(2)B(3)2【解析】(1)选项A中，cos82°sin52°－sin82°cos52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－12，故A错误；选项B中，sin15°sin30°sin75°＝12sin15°cos15°＝14sin30°＝18，故B错误；选项C中，tan48°＋tan72°1－tan48°tan72°＝tan(48°＋72°)＝tan120°＝－3，故C错误；选项D中，cos215°－sin215°＝cos30°＝32，故D正确.(2)f(x)＝cosx－32sinx－12cosx－32sinx＋12cosx＝cosx－3sinx＝2cosx＋π3.∵0≤x≤π，∴π3≤x＋π3≤4π3，则当x＋π3＝π时，函数取得最小值2cosπ＝－2，当x＋π3＝π3时，函数取得最大值2cosπ3＝2×12＝1，即函数的值域为[－2，1].故选B.(3)原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.【方法技巧】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.【变式训练】1.下列选项中，值为14的是()A.2sinπ12sin5π12B.13－