第01讲 数列的概念与简单表示法（练）（解析版）

第01讲数列的概念与简单表示法一、单选题1．已知数列na满足26nnan，n为正整数，则该数列的最大值是（）A．12B．15C．16D．531【答案】B【分析】求出数列na的前5项，再由对勾函数的性质可得16nann，*Nn的单调性，从而即可得最大值.【详解】解：由26nnan，得117a，215a，315a，4211a，5531a．又16nann，*Nn，又因为16yxx在0,6上单调递增，在6,上单调递减，所以na的最大值为2315aa．故选：B．2．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是na（）A．11019nB．11013nC．111310nD．310110n【答案】C【分析】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是101nnb，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是1110111010nnnnc，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是111310nna．故选：C．3．设数列na满足11,1nnnaaa且112a，则2022a（）A．2B．13C．12D．3【答案】D【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.【详解】由题意可得：121111231112aaa，2321132113aaa，34312111123aaa，14541111311213aaaa，据此可得数列na是周期为4的周期数列，则20225054223aaa.故选：D4．记数列na的前n项和为nS，且21)nnSa（，则2a（）A．4B．2C．1D．2【答案】A【分析】由11212,SaSaa列方程组求值即可.【详解】因为1112(1)Saa，解得12a.又因为21222(1)Saaa，解得24a.故选：A.5．在数列na中，11a，23a，35a，31nnaa，则515252022logloglogaaa（）A．0B．1C．5log3D．5log15【答案】A【分析】根据31nnaa，可得6nnaa，则数列na是以6为周期的周期数列，再求出123456aaaaaa，即可得解.【详解】解：由31nnaa，得361nnaa，两式相除可得6nnaa，所以数列na是以6为周期的周期数列，又1234561425361aaaaaaaaaaaa，所以337515252022512202251265loglogloglogloglog10aaaaaaaaa．故选：A．6．已知等比数列na的前n项和为nS，且10a，则“数列na递增”是“数列nS递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】从“数列na递增”和“数列nS递增”两方面作为条件分别证明结论是否成立即可.【详解】因为10a，且数列na递增，所以0na，因此10nnnSSa，所以数列nS递增，所以“数列na递增”是“数列nS递增”的充分条件；若数列nS递增，则110nnnSSa，所以10naq，又10a，所以0nq对Nn成立，即0q，则0na，但是1(1)nnnaaaq的符号不确定，所以数列na不一定递增，所以“数列na递增”是“数列nS递增”的不必要条件；因此“数列na递增”是“数列nS递增”的充分不必要条件.故选：A二、填空题7．已知在数列na中，12a，3211223nnaaaaan，则na__________．【答案】2n【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义，探讨数列na相邻两项的关系，构造常数列求解作答.【详解】因为3211223nnaaaaan，当2n时，31212231nnaaaaan，则1nnnaaan，即有11nnaann，当1n时，122aa，得24a，2121aa满足上式，Nn，11nnaann，因此数列{}nan是常数列，即121naan，所以2nan.故答案为：2n8．给出下列命题：①已知数列na，*12nannnN，则1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2,5,22,11，…的一个通项公式是1131nnan；③已知数列na，5nakn，且811a，则1729a；④已知13nnaa，则数列na为递增数列．其中正确命题的个数为______．【答案】4【分析】令112120nn，以及数列na的单调性，可判定①正确；结合归纳法，可判定②正确；由811a，求得2k，求得25nan，可判定③正确；由130nnaa，可判定④正确．【详解】对于①中，令112120nn，解得10n，且数列na为递减数列，所以最大项为第1项，所以①正确；对于②中，数列2，5，8，11，…的一个通项公式为31nan，所以原数列的一个通项公式为1131nnan，所以②正确；对于③中，由5nakn且811a，即8511k，解得2k，所以25nan，所以1729a，所以③正确；对于④中，由13nnaa，可得130nnaa，即1nnaa，所以数列为递增数列，所以④正确．故答案为：4.9．在数列na中，12nnnaan（n∈N*），且14a，则数列na的通项公式na________.【答案】81nn【分析】由12nnnaan，得12nnanan，再利用累乘法即可得出答案.【详解】解：由12nnnaan，得12nnanan，则2113aa，3224aa，4335aa，1121nnannan，累乘得11233212345111nannnannnnn，所以81nann.故答案为：81nn.三、解答题10．记关于x的不等式22*430xnxnnN的整数解的个数为na，数列nb的前n项和为nT，满足1432nnnTa.(1)求数列nb的通项公式；(2)设322nnncb，若对任意*nN，都有1nncc成立，试求实数的取值范围.【答案】(1)11322nnb(2)16855【分析】（1）解不等式可确定na，由1(2)nnnbTTn及11ba可求得nb；（2）由（1）求得nc，单调性转化为10nncc恒成立，然后按n的奇偶性分类讨论得参数范围．（1）由不等式22430xnxn可得：3nxn，21nan，11133424nnTn，当1n时，111bT，当2n时，111322nnnnbTT，因为11b适合上式，11322nnb；（2）由（1）可得：1331(1)2nnnnc，111331(1)2nnnnc，1153,23(1)022nnnnnnncccc，4(1)25nn，当n为奇数时，425n，由于425n随着n的增大而增大，当1n时，425n的最小值为85，85，当n为偶数时，425n，由于425n随着n的增大而减小，当2n时，425n的最大值为165，165，综上可知：16855．11．已知数列{an}的前n项和Sn，求通项an．(1)Sn＝3n－1；(2)Sn＝n2＋3n＋1．【答案】(1)123nna(2)5,122,2nnann【分析】利用1nnnaSS求通项公式.（1）n＝1时，a1＝S1＝2．n≥2时，1123nnnnaSS－－＝－＝．当n＝1时，an＝1符合上式．∴123nna－=．（2）n＝1时，a1＝S1＝5．n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2．当n＝1时a1＝5不符合上式．∴5,122,2nnann.一、单选题1．已知数列{nc}满足*1131,,1nnncccncN，则18c（）A．12,35B．21,73C．1,427D．21,94【答案】C【分析】先由2111=+nnnccc判断出1nc是递增数列且11nc，再由23331311+1nnnncccc结合累加法求得18172c；再由3333121311+4nnnnnccccc结合累加法求得1814c，即可求解.【详解】由*13,1nnnccncN，得32*1111=+,nnnnnccncccN，21110=nnnccc，所以111nncc，又110c，所以数列1nc是递增数列且11nc，333132361111++333nnnnnnnccccccc，所以33*1113,nnnccN，所以33333333181817171621111111111cccccccc317152，所以318152c，31817522c.当1n，得1213112ccc，由01nc得63nncc，则3333231631111+3334nnnnnnnncccccccc，同上由累加法得33333331231721811131745641664ccccccc，所以1814c，所以187142c，则181247c.故选：C.2．已知x表示不超过x的整数，如1.21,1.22.已知152，则12（）A．321B．322C．323D．以上都不对【答案】A【分析】记151522nnna，则由其所对应的特征根方程知数列na满足21nnnaaa，由递推关系依次求出各项，再结合放缩法即可求解【详解】记151522nnna，则由其所对应的特征根方程知数列na满足21nnnaaa且012,1aa，依次可得234567893,4,7,11,18,29,47,76aaaaaaaa，101112123,199,322.aaa而150,12，所以12150,12，所以1212121512aa，所以12321.故选：A3．已知数列na的各项都是正数，211Nnnnaaan．记1(1)1nnnba，数列nb的前n项和为nS，给