第02讲 等差数列及前n项和（讲）（解析版）

第02讲等差数列及其前n项和本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.考点一等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b2.考点二等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋an）2.考点三等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也为等差数列.考点四常用结论1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).高频考点一等差数列基本量的运算【例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则()A.an＝2n－5B.an＝3n－10C.Sn＝2n2－8nD.Sn＝12n2－2n答案A解析设首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得a1＋4d＝5，4a1＋6d＝0，解得a1＝－3，d＝2.所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋n（n－1）2×2＝n2－4n.【例2】(2022·江南十校调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝a8＝8，则公差d＝()A.14B.12C.1D.2答案D解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.∴d＝a8－a48－4＝2.【方法技巧】1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【变式训练】1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a10，求使得Sn≥an的n的取值范围.解(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5可知9a5＝－a5，所以a5＝0.因为a3＝4，所以d＝a5－a32＝0－42＝－2，所以an＝a3＋(n－3)×(－2)＝10－2n，因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a5＝0，因为a10，所以等差数列{an}单调递减，即d0，a1＝a5－4d＝－4d，Sn＝n（n－9）d2，an＝－4d＋d(n－1)＝dn－5d，因为Sn≥an，所以nd（n－9）2≥dn－5d，又因为d0，所以1≤n≤10.高频考点二等差数列的判定与证明【例3】(经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)证明当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以1Sn－1Sn－1＝2，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得1Sn＝2n，∴Sn＝12n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12（n－1）＝n－1－n2n（n－1）＝－12n（n－1）.当n＝1时，a1＝12不适合上式.故数列{an}的通项公式为an＝12，n＝1，－12n（n－1），n≥2.【迁移1】若将本例中的条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)”变为“an＋1＝2an2＋an”其他条件保持不变，试求解下面问题：(1)求证：数列1an是等差数列；(2)若bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)证明易知an≠0，∵an＋1＝2an2＋an，∴1an＋1＝2＋an2an，∴1an＋1－1an＝12，又a1＝12，则1a1＝2，∴数列1an是以2为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)知，1an＝2＋12(n－1)＝n＋32，即an＝2n＋3，∴bn＝4（n＋3）（n＋4）＝41n＋3－1n＋4，∴Sn＝414－15＋15－16＋…＋1n＋3－1n＋4＝414－1n＋4＝nn＋4.【迁移2】本例中，若将条件变为a1＝35，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.【解析】由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1，又a1＝35，∴ann是以a11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴ann＝35＋(n－1)·1＝n－25，∴数列{an}的通项公式为an＝n2－25n.【方法技巧】1.证明数列是等差数列的主要方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【变式训练】1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数.(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.【解析】(1)证明由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)解存在实数λ，理由如下：由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.高频考点三等差数列的性质及应用【例4】(1)在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则(a3＋a7)2－a5＝()A.60B.56C.12D.4(2)(2022·衡水调研)已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，则S13的值为()A.130B.260C.156D.168答案(1)A(2)A解析(1)∵在等差数列{an}中，a2＋a8＝8，∴a2＋a8＝a3＋a7＝2a5＝8，解得a5＝4，所以(a3＋a7)2－a5＝82－4＝60.(2)由于a5＋a9－a7＝10，得2a7－a7＝10，∴a7＝10，则S13＝13（a1＋a13）2＝13a7＝130.【例5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S20＝S40，则下列结论中正确的是()A.S30是Sn中的最大值B.S30是Sn中的最小值C.S30＝0D.S60＝0【答案】D【解析】∵S40－S20＝a21＋a22＋…＋a39＋a40＝10(a30＋a31)＝0，∵a30＋a31＝0，故S60＝30(a30＋a31)＝0.【例6】(2019·北京卷)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.【解析】(1)设{an}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).解得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，an＝2n－12.则当n≥7时，an0；当n＝6时，an＝0，当n6时，an0；所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.【方法技巧】1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.【变式训练】1.(2022·洛阳质检)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝272，则a3＋a9＋a15＝()A.24B.36C.48D.64【答案】C【解析】因为数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，所以S17＝272＝a1＋a172×17＝2a92×17＝17a9，∴a9＝16，所以a3＋a9＋a15＝3a9＝48.2.(2020·北京卷)在等差数列{}an中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则数列{}Tn()A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项【答案】B【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝－9，a5＝－1，∴a5＝－9＋4d＝－1，则d＝2.所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11.令an＝2n－11≤0，得n≤5.5.∴n≤5时，an0；当n≥6时，an≥10.因为Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，所以T1＝－9，T2＝63，T3＝－315，T4＝945，T5＝－945.当n≥6时，an≥1，∴Tn0，且Tn＋1Tn0.∴Tn＝a1a2a3…an(n＝1，2，…)有最大项T4，无最小项.