第04讲 数列求和（练）（原卷版）

第04讲数列求和一、单选题1．在数列na中，12111nnannnnN，11nnnbaa，则数列nb的前n项和nS（）A．41nnB．21nnC．21nnD．21nn2．已知函数12fx为奇函数，且1gxfx，若2023nnag，则数列na的前2022项和为（）A．2023B．2022C．2021D．20203．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为1.1xy，第n根弦（Nn，从左数第1根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线:1lyx交于点nA（nx，ny）和nB（nx，ny），则200nnnyy()参考数据：取221.18.14.A．814B．900C．914D．10004．已知数列na满足2212352222nnnnaaa，数列na的前n项和为nS，则下列结论错误的是（）A．1a的值为2B．数列na的通项公式为312nnanC．数列na为递减数列D．3772nnnS5．已知数列na满足1nnan，则3202120222122222320212022aaaaa（）A．20212022B．20192020C．20202021D．202220236．已知数列na满足11a，1112nnnnaaaann，则na（）A．322nnB．223nnC．2231nnD．3122nn7．已知数列na是递增的等差数列，3a是1a与11a的等比中项，且25a.若1nnnbaa，则数列nb的前n项和nS（）A．322nB．352nC．325nD．355n二、填空题8．已知数列na的通项公式(1),nnannS为数列1na的前n项和，则2022S___________．9．数列22nn的前n项和nS___________.10．数列{}na满足12(1)31nnnaan，前16项和为540，则2a__．三、解答题11．已知数列na满足213,21nnaaa，设1nnba.(1)证明：nb是等比数列；(2)求13521naaaa.12．已知单调递减的正项数列na，2n时满足22111111210nnnnnnnnnaaaaaaaaa．112naS，为na前n项和．(1)求na的通项公式；(2)证明：111nSn.13．已知数列na的前n项和为nS，点,nnS在曲线220xxy上．(1)证明：数列na为等差数列；(2)设21nnannba，求数列nb的前2n项和．14．已知数列na的前n项和为nS，且12a，132nnSS，数列nb满足1122,nnnbbbn，其中*nN.(1)分别求数列na和nb的通项公式；(2)在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个公差为nc的等差数列，求数列nnbc的前n项和nT一、单选题1．各项都不为0的数列na的前k项和kS满足12kkkSaa，其中11a，数列1nnaa的前n项和为nT，若10nT≥恒成立，则的最小值为（）A．8B．9C．10D．202．已知数列na的前n项和为nS，且12a，142nnaannN，则数列1nS的前2021项的和为()A．20212022B．20202021C．20192020D．101010113．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列na可以用如下方法定义：21nnnaaa，且121aa，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列nb，则数列nb的前2022项和为（）A．2698B．2697C．2696D．26954．已知数列na满足11a，*121nnaanN＋，记数列11(2)(2)nnnaaa的前n项和为nT，若对于任意*nN，不等式nkT恒成立，则实数k的取值范围为（）A．1,2B．1,2C．1,3D．1,35．记数列13n中不超过正整数n的项的个数为na，设数列na的前n项的和为nS，则3kSNk等于（）A．1323kkkB．13322kkkC．333722kkkD．37322kk6．已知*iN，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···，2i，12i，···，2，1，···的前n项和为nS，若2022nS，则n的最小值为（）A．81B．90C．100D．20217．已知函数2()42fxxx，数列{}na满足*111,2()1()nnaafanN，数列1na的前n项和为nS，若MZ，使得nSM恒成立，则M的最小值是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题8．数列na满足12a，2(1)sin4nnnnaa，则na前40项和为________．9．已知数列na的前n项和为nS，且1211121nnSSSn，设函数1cosπ2fxx，则32021122022202220222022aaaaffff______．三、解答题10．从条件①21nnSna，②22,0nnnnaaSa，③12nnnSSan，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列na的前n项和为1,1nSa，___________.(1)求na的通项公式；(2)设1112nnnab，记数列nb的前n项和为nT，是否存在正整数n使得83nT.11．设数列na满足：对任意正整数n，有32121999nnaaaan．(1)求数列na的通项公式；(2)设nnabn，求数列nb的前n项和nS．12．已知数列na的前n项和为nS，且满足11a，当*2Nnn时，311113nnnSnSnn.(1)计算：2a，3a；(2)证明1nSnn为等差数列，并求数列na的通项公式；(3)设tannnba，求数列1nnbb的前n项和nT.13．已知数列na各项都是正数，11a，对任意n∈N*都有222211213nnaaaa．数列nb满足11b，121nnbbn（n∈N*）．(1)求数列na，nb的通项公式；(2)数列nc满足cn＝21nnba，数列nc的前n项和为nT，若不等式24393nnnT对一切n∈N*恒成立，求的取值范围．14．已知等比数列na的各项均为正数，52a，4a，64a成等差数列，且满足2434aa，数列nS的前n项之积为nb，且121nnSb．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)设21nnnnnbadbb，若数列nd的前n项和nM，证明：71303nM．一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）已知数列na满足111,N1nnnaaana.记数列na的前n项和为nS，则（）A．100332SB．10034SC．100942SD．100952S2．（2020·江苏·高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和221()nnSnnnN，则d+q的值是_______．三、解答题3．（2022·天津·高考真题）设na是等差数列，nb是等比数列，且1122331ababab．(1)求na与nb的通项公式；(2)设na的前n项和为nS，求证：1111nnnnnnnSabSbSb；(3)求211(1)nkkkkkaab．4．（2022·全国·高考真题）记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列．(1)求na的通项公式；(2)证明：121112naaa．5．（2021·天津·高考真题）已知na是公差为2的等差数列，其前8项和为64．nb是公比大于0的等比数列，1324,48bbb．（I）求na和nb的通项公式；（II）记2*1,nnncbbnN，（i）证明22nncc是等比数列；（ii）证明*112222nkkkkkanNcac6．（2021·全国·高考真题（文））设na是首项为1的等比数列，数列nb满足3nnnab．已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求na和nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na和nb的前n项和．证明：2nnST．7．（2011·全国·高考真题（理））等比数列na的各项均为正数，且212326231,9aaaaa.（1）求数列na的通项公式；（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1nb的前n项和nT.8．（2020·天津·高考真题）已知na为等差数列，nb为等比数列，115435431,5,4abaaabbb．（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）记na的前n项和为nS，求证：2*21nnnSSSnN；（Ⅲ）对任意的正整数n，设21132,,,.nnnnnnnabnaacanb为奇数为偶数求数列nc的前2n项和．9．（2020·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，134nnaan．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．10．（2020·全国·高考真题（理））设{}na是公比不为1的等比数列，1a为2a，3a的等差中项．（1）求{}na的公比；（2）若11a，求数列{}nna的前n项和．11．（2019·天津·高考真题（理））设na是等差数列，nb是等比数列.已知1122334,622,24abbaba，.（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）设数列nc满足111,22,1,,2,kknkknccbn其中*kN.（i）求数列221nnac的通项公式；（ii）求2*1niiiacnN.12．（2019·天津·高考真题（文））设na是等差数列，nb是等比数列，公比大于0，已知113ab，23ba，3243ba.（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）设数列nc满足21,,,nnncbn为奇数为偶数求*112222nnacacacnN.四、双空题13．（2021·全国·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，20dm6dm两种规格的图形，它们的面积之和21240dmS，对折2次