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第03讲等比数列及其n项和本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.考点一等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.那么Ga＝bG，即G2＝ab.考点二等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.考点三等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.考点四常用结论1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an，{an·bn}，anbn也是等比数列.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为xq，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为xq3，xq，xq，xq3.高频考点一等比数列基本量的运算【例1】(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A.16B.8C.4D.2【方法技巧】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.【变式训练】1.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.高频考点二等比数列的判定与证明【例3】Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【方法技巧】1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.【变式训练】(2021·石家庄质量评估)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝12n.(1)证明：数列{a2n－1}和数列{a2n}都是等比数列；(2)若数列{an}的前2n项和为T2n，bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求数列{bn}的最大项.高频考点三等比数列的性质及应用【例4】(2021·长郡中学检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A.25B.20C.15D.10【方法技巧】1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.【变式训练】1.(2022·西安调研)已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若a1a7＝4，且a4＋2a7＝52，则S5＝()A.32B.31C.30D.292.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝________.