第01讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积（练）（原卷版）

第01讲空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积（讲）一、单选题1．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，且543PAABBC，，，则这个“阳马”的外接球表面积为（）A．5πB．200πC．50πD．100π2．如图，平行四边形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中5,2OAOC,30AOC，则原图形的面积是（）A．4B．102C．42D．523．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45角，则这个圆台的侧面积是（）A．27B．272C．92D．3624．如图，已知正方体的棱长为a，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（）A．2822aB．2242aC．2422aD．2642a5．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A．2B．42C．8D．826．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，13CECA，当底面ABC水平放置时，液面高为（）A．649B．89C．6D．94二、填空题7．在三棱锥PABC中，2PAPBPC，且PAPBPC、、两两互相垂直，则三棱锥PABC的外接球的体积为__________．8．圆锥PO轴截面的顶角为34，母线长为2，则过任意两条不重合的母线的截面面积的取值范围为_________.9．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为_________.三、解答题10．如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，1ABC的面积为22．求A到平面1ABC的距离；11．如图，已知正三棱锥SABC的高SOh，侧面上的斜高SMl，求经过SO的中点1O且平行于底面的截面111ABC△的面积（用l，h表示）．一、单选题1．公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线22:5Cyx与直线2x所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与的体积相同的是（）A．图①，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个弦长为4､半径为3的弓形B．图②，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个弦长为4､半径为3的弓形C．图③，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形D．图④，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形2．半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，BCD△是平面内边长为R的正三角形，线段,ACAD分別与球面交于点,MN，那么三棱锥AOMN的体积是（）A．34375RB．34325RC．3375RD．3325R3．在ABC中，45,3,tan3ABACA，点MN､分别在边ABBC､上移动，且MNBN，沿MN将BMN△折起来得到棱锥BAMNC，则该棱锥的体积的最大值是（）A．16215B．16315C．16615D．3091284．如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分后，剩下的部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥的侧面积的取值范围为（）A．1,2B．1,2C．0,2D．0,25．在三棱锥PABC中，侧棱PA底面,5ABCPA，如图是其底面ABC用斜二测画法所画出的水平放置的直观图ABCV，其中2OBOCOA，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．36B．41C．48D．50二、填空题6．已知四边形ABCD是边长为3的菱形，把ACD△沿AC折起，使得点D到达点P，则三棱锥PABC体积最大时，其外接球半径为_______．7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．8．如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，棱柱的侧面均为矩形，11AA，3ABBC，1cos3ABC，P是1AB上的一动点，则1APPC的最小值为_____.三、解答题9．近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于2与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是2，所以正方体在各顶点的曲率为2322，故其总曲率为4.(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：2DLM.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.一、单选题1．（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．23B．24C．26D．272．（2022·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A．22πB．8πC．22π3D．16π33．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m．时，相应水面的面积为21400km．；水位为海拔1575m．时，相应水面的面积为21800km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m．上升到1575m．时，增加的水量约为（72.65）（）A．931.010mB．931.210mC．931.410mD．931.610m4．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π5．（2022·全国·高考真题（理））如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．206．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．51047．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A．13B．12C．33D．228．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥PABC的六条棱长均为6，S是ABC及其内部的点构成的集合．设集合5TQSPQ，则T表示的区域的面积为（）A．34B．C．2D．3二、多选题9．（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，,2FBEDABEDFB∥，记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为123,,VVV，则（）A．322VVB．31VVC．312VVVD．3123VV三、解答题10．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,,,EABFBCGCDHDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．(1)证明：//EF平面ABCD；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．