第04讲 数列求和（讲）（解析版）

第04讲数列求和本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.考点一特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a1（1－qn）1－q，q≠1.考点二数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.高频考点一分组转化法【例1】数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为()A.－200B.－100C.200D.100【答案】D【解析】S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.【例2】(2022·合肥质检)已知数列{an}的首项为－1，anan＋1＝－2n，则数列{an}的前10项之和等于________.【答案】31【解析】因为anan＋1＝－2n，所以an＋1an＋2＝－2n＋1，因此an＋2an＝2，所以{an}的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，又a1＝－1，a2＝－2a1＝2，∴S10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10)＝－1·（1－25）1－2＋2（1－25）1－2＝－31＋2×31＝31.【方法技巧】1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.若数列{cn}的通项公式为cn＝an，n为奇数，bn，n为偶数，其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.3.求解此类求和问题需过两关：第一关，拆分关，即观察数列的通项公式的结构特征，拆分为若干个可求和的简单数列(如等差数列、等比数列)；第二关，求和关，对各个简单数列分别求和，最后合并为待求数列的前n项和.【跟踪训练】1.(2021·江南名校联考)在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2021＝________.【答案】4714【解析】根据a1＝1，a2＝2及anan＋1an＋2＝8，得a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，…，易知数列{an}是周期为3的周期数列，且an＋an＋1＋an＋2＝7(n∈N*)，所以a1＋a2＋…＋a2021＝(a1＋a2)＋(a3＋a4＋a5)×673＝1＋2＋(1＋2＋4)×673＝4714.2.(2022·衡水质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25.(1)求数列{an}的通项公式及Sn；(2)设bn＝(－1)nSn，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由S5＝5a3＝25得a3＝a1＋2d＝5，又a5＝9＝a1＋4d，所以d＝2，a1＝1，所以an＝2n－1，Sn＝n（1＋2n－1）2＝n2.(2)结合(1)知bn＝(－1)nn2，当n为偶数时，Tn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋(b5＋b6)＋…＋(bn－1＋bn)＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n－(n－1)][n＋(n－1)]＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2.当n为奇数时，n－1为偶数，Tn＝Tn－1＋(－1)n·n2＝（n－1）n2－n2＝－n（n＋1）2.综上可知，Tn＝（－1）nn（n＋1）2.高频考点二裂项相消求和【例3】(2021·太原调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，满足S1，S2，－S3成等差数列，且a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝－3an（an＋1）（an＋1＋1），求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设数列{an}的公比为q，依题意有S1－S3＝2S2，∴－(a2＋a3)＝2(a1＋a2)，即－q(a1＋a2)＝2(a1＋a2)，又Sn≠0，知a1＋a2＝S2≠0，所以q＝－2，又a1a2＝a3，知a1＝q＝－2，所以{an}的通项公式an＝(－2)n.(2)结合(1)知bn＝－3（－2）n[（－2）n＋1][（－2）n＋1＋1]＝（－2）n＋1－（－2）n[（－2）n＋1][（－2）n＋1＋1]＝1（－2）n＋1－1（－2）n＋1＋1，所以Tn＝1（－2）1＋1－1（－2）2＋1＋1（－2）2＋1－1（－2）3＋1＋…＋1（－2）n＋1－1（－2）n＋1＋1＝1－2＋1－1（－2）n＋1＋1＝－1－1（－2）n＋1＋1.【方法技巧】1.用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)，1n（n＋k）＝1k(1n－1n＋k)，裂项后可以产生连续相互抵消的项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【跟踪训练】1.设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2.(1)证明：{an}为等比数列；(2)记bn＝log2an，数列λbnbn＋1的前n项和为Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范围.【解析】(1)证明由已知，得a1＝S1＝2，a2＝S1＋2＝4，当n≥2时，an＝Sn－1＋2，所以an＋1－an＝(Sn＋2)－(Sn－1＋2)＝an，所以an＋1＝2an(n≥2).又a2＝2a1，所以an＋1an＝2(n∈N*)，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列.(2)解由(1)可得an＝2n，所以bn＝n.则λbnbn＋1＝λn（n＋1）＝λ1n－1n＋1，Tn＝λ1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝λ1－1n＋1，因为Tn≥10，所以λnn＋1≥10，从而λ≥10（n＋1）n，因为10（n＋1）n＝101＋1n≤20，所以λ的取值范围为[20，＋∞).高频考点三错位相减法求和【例4】(2022·天津南开区调研)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1＝1，a3＋a4＝12，b1＝a2，b2＝a5.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝(－1)nanbn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝1，a3＋a4＝12，所以2a1＋5d＝12，所以d＝2，所以an＝2n－1.设等比数列{bn}的公比为q，因为b1＝a2，b2＝a5，所以b1＝a2＝3，b2＝9，所以q＝3，所以bn＝3n.(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n，所以cn＝(－1)n·an·bn＝(－1)n·(2n－1)·3n＝(2n－1)·(－3)n，所以Sn＝1·(－3)＋3·(－3)2＋5·(－3)3＋…＋(2n－1)·(－3)n，①则－3Sn＝1·(－3)2＋3·(－3)3＋…＋(2n－3)·(－3)n＋(2n－1)·(－3)n＋1②①－②得，4Sn＝－3＋2·(－3)2＋2·(－3)3＋…＋2·(－3)n－(2n－1)·(－3)n＋1＝－3＋2·（－3）2[1－（－3）n－1]1＋3－(2n－1)·(－3)n＋1＝32－4n－12·(－3)n＋1，所以Sn＝38－4n－18·(－3)n＋1.【方法技巧】1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.【跟踪训练】1.(2020·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.【解析】(1)由a1＝3，an＋1＝3an－4n，得a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1.证明如下：由an＋1＝3an－4n，得an＝3an－1－4n＋4(n≥2)，则an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)].又a1＝3，知a1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0，则an＝2n＋1.(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.