第02讲等式性质与不等式1.已知2a,73b,62c,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.cba【答案】B【解析】由237ab,且2(23)5267,故ab;由226ac且2(22)86,故ac;7263bc且22639218921472,故cb.所以acb,故选:B.2.已知ab,且18ab,则221abab的最小值是()A.11B.9C.8D.6【答案】A【解析】222361112ababababababab,因为ab,所以0ab,故3636121=11abababab,当且仅当36=333,333ababab时,等号成立.故选:A3.已知实数0,0xy满足xyxy,则4xy的最小值为()A.8B.9C.7D.10【答案】B【解析】由题设,111xy,所以11444(4)()5529yxyxxyxyxyxyxy,当且仅当33,2xy时等号成立,所以4xy的最小值为9.故选:B4.已知正实数x、y满足22xy,则12xy的取值可能为()A.72B.113C.165D.214【答案】D【解析】解:因为正实数x、y满足22xy,所以121122252122yxxyxyyyxx,22952212yxxy,当且仅当22yxxy,即23xy时,等号成立,故选:D(多选)5.已知,abR,则下列命题正确的是()A.若ab¹,则22abB.若22ab,则ab¹C.若ab,则22abD.若||ab,则22ab【答案】BD【解析】当ab时,如2a,2b时22ab成立,A错;若ab则一定有22ab,所以22ab时,一定有ab¹,B正确;23,但222(3),C错;ab,则222abb,D正确.故选:BD.(多选)6.已知a,b,cR,则下列不等式正确的是()A.114ababB.22ababC.22baababD.2212abab【答案】ACD【解析】对A,因为112224babaabababab,当且仅当baab时等号成立,所以114abab,故A正确;对B,222222abababab,所以22abab,故B错误;对C,22222222babaababababab,当且仅当ab等号成立,所以22baabab,故C正确;对D,因为22110ab,所以222220abab,所以2212abab,当且仅当1ab等号成立,故D正确.故选:ACD.7.已知实数20xy,0z,则43223xyzxxyyz的最小值为___________.【答案】12【解析】解:因为20xy,0z,所以43223xyzxxyyz223223xyyzxxyyz231223yzxxyyz232311212223223yzxyzxxyzxyz当232,223,2223yzxxyxyzxyxyz取等号“综上所述:43223xyzxxyyz的最小值为12;故答案为:128.非负实数x,y满足260xyxy,则2xy的最小值为______.【答案】0【解析】当0xy时,20xy;当x,0y时,由260xyxy得3112xy,所以31622442322yxxyxyxyxy(当且仅当62yxxy,即33312xy时,等号成立).所以2xy的最小值为0.故答案为:0.9.若正数a,b满足20ab,则2ab的最小值为___________.【答案】410【解析】解:因为0a、0b且20ab,所以222410abab,当且仅当2ab,即210a、10b时取等号;故答案为:4101.若,,abcR,且ab,则下列不等式中一定成立的是()A.abbcB.acbcC.20cabD.2()0abc【答案】D【解析】A显然错误,例如3,2,10abc,abbc;0c时,由ab得acbc,B错;ab0ab,但0c=时,20cab,C错;ab0ab,又2c0,所以2()0abc,D正确.故选:D.2.已知,,Rabc且ab,则下列不等式中一定成立的是()A.11abB.acbcC.22abD.2-b0ac【答案】D【解析】由题意可知,a、b、Rc,且abA:若12ab,,满足ab,则11ab,故A错误;B:若12ab,,满足1abc,,则acbc,故B错误;C:若01ab,,则22ab,故C错误;D:220()0abcabc,,,故D正确.故选:D3.设0x,则23632fxxx的最大值为()A.0B.不存在C.32D.52【答案】C【解析】因为0x,则3222333333393636636222222222xxxxfxxxxx,当且仅当23322xx即1x时等号成立,则fx的最大值为则32.故选:C.4.若0a、0b,且411ab,则ab的最小值为().A.16B.4C.116D.14【答案】A【解析】因为0a、0b,所以4141124ababab,即114ab,所以4ab,即16ab,当仅当41ab,即82ab,时,等号成立.故选:A.5.若正数,ab满足abab,则2ab的最小值为()A.6B.42C.322D.222【答案】C【解析】因为正数,ab满足abab,所以111ab,所以112(2)ababab23abba232322abba,当且仅当2abba,即2221,2ab时取等号,故选:C6.已知1a,则21aa的最小值为()A.221aaB.221C.22D.221【答案】D【解析】解:1a,则222112(1)1221111aaaaaa,当且仅当211aa即21a时取等号.故选:D.7.若0a,0b,且3327abab,则ab的最小值为()A.9B.16C.49D.81【答案】D【解析】由题意得3327627ababab,得627930abababab,解得9ab,即81ab,当且仅当9ab时,等号成立.故选:D(多选)8.下列命题为真命题的是()A.若ab,cd,则acbdB.若ab,cd,则acbdC.若ab,则22acbcD.若0ab,0c,则ccab【答案】AD【解析】A.由不等式的性质可知同向不等式相加,不等式方向不变,故正确;B.当1,2.2,1abcd时,acbd,故错误;C.当0c=时,22acbc故错误;D.cbaccabab,因为0ba,0c,0ab,所以0ccab,故正确;故选:AD(多选)9.设正实数m、n满足2mn,则下列说法正确的是()A.2nmn的最小值为3B.mn的最大值为1C.mn的最小值为2D.22mn的最小值为2【答案】ABD【解析】因为正实数m、n,所以212213nnmnnmnmmnmnmnmn,当且仅当nmmn且m+n=2,即m=n=1时取等号,此时取得最小值3,A正确;由2()12mnnm,当且仅当m=n=1时,mn取得最大值1,B正确;因为2()22224mnmnmnmnmn,当且仅当m=n=1时取等号,故mn≤2即最大值为2,C错误;2222()24242()22mnmnmnmnmn,当且仅当1mn时取等号,此处取得最小值2,故D正确.故选:ABD(多选)10.已知正实数,xy满足4xyxy,则()A.4xB.24yyx的最小值为1C.xy的最小值为9D.22xy的最小值为812【答案】AC【解析】解:因为4xyxy,则(4)xyx,即1441xyxx,又,xy为正实数,则4011x,所以4x,1y,故A项正确;因为4xyxy,所以2224(1)2(1)1yxyyyyyyyxx,又1y,所以2(1)11y,故B项错误;因为4xyxy,且,xy为正实数,即0xy,则4141xyxyyx,所以44()525914xyxyxyxyxxxyyy,当且仅当4xyyx,即6,3xy时等号成立,故C项正确;因为9xy,所以2()81xy,则222181()22xyxy,当且仅当xy时,等号成立,但由4xyxy可得,当xy时,5xy,且228155502,故D项错误.故选:AC.11.若2x,则12fxxx的最小值为___________.【答案】0【解析】由2x,得12002xx,,所以111()222(2)20221fxxxxxxx,当且仅当122xx即1x时等号成立.故答案为:01.(2019·浙江·高考真题)若0,0ab,则“4ab”是“4ab”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0,0ab时,2abab,则当4ab时,有24abab,解得4ab,充分性成立;当=1,=4ab时,满足4ab,但此时=54a+b,必要性不成立,综上所述,“4ab”是“4ab”的充分不必要条件.2.(2011·全国·高考真题(文))下面四个条件中,使ab成立的充分而不必要的条件是A.1ab>B.1ab>C.22ab>D.33ab>【答案】A【解析】由,但无法得出,A满足;由、均无法得出,不满足“充分”;由,不满足“不必要”.3.(2015·天津·高考真题(理))设xR,则“21x”是“220xx”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由21x,可得13x,即x(1,3);由22(1)(2)0xxxx,可得2x或1x,即x(,2)(1,);∴(1,3)是(,2)(1,)的真子集,故“21x”是“220xx”的充分而不必要条件.故选:A(多选)4.(2022·全国·高考真题)若x,y满足221xyxy,则()A.1xyB.2xyC.222xyD.221xy【答案】BC【解析】因为22222ababab(,abÎR),由221xyxy可变形为,221332xyxyxy,解得22xy,当且仅当1xy时,2xy,当且仅当1xy时,2xy,所以A错误,B正确;由221xyxy可变形为222212xyxyxy,解得222xy,当且仅当1xy时取等号,所以C正确;因为221xyxy变形可得223124yxy,设3cos,sin22yxy,所以