第02讲 等式性质与不等式（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第2讲等式性质与不等式本讲为高考重要知识点，题型主要和其他知识结合考察，属于工具型知识点，梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式-基本不等式。体会函数观点统一方程和不等式的数学思想。考点一等式性质与不等式的性质1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)ab⇔a－b0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)ab⇔a－b0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；ab，c0⇒acbc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).考点二基本不等式1.基本不等式：ab≤2ab(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中2ab称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤22ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是24s(简记：和定积最大).注意：1.baab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤22ab≤222ab.3.2221122abababab(a0，b0).高频考点一等式性质与不等式性质例1、已知，则下列结论正确的是A.B.C.D.【答案】【解析】【解答】解：对于：当时，根式无意义，选项错误；对于：在一个不等式两边同时加上一个实数，不等式仍成立，故B正确；对于：，当时，不成立；对于：当，时，，但不成立．故选：．【变式训练】1．若0ab，则下列不等式正确的是（）A．acbcB．33abC．abD．abab【答案】B【解析】对于A，若0c=，则acbc，所以A错误，对于B，因为0ab，所以330ab，所以B正确，对于C，因为0ab，所以ab，所以C错误，对于D，若2,1ab，则32abab，所以D错误，故选：B高频考点二“1”的代换型例2、已知x，y均为正实数，且2762xyxy，则x+3y的最小值为__________【详解】x，y均为正实数,221762xyxyyx,12113233(7)776622yxxyxyyxxy17262.762当32yx时等号成立.故答案为：2.【变式训练】1.已知0a，0b，321ba，则23ab的最小值为（）A．20B．24C．25D．28【答案】C【详解】由题意236666()()23252313132abababbaabbaab，当且仅当66abba，即5ab时等号成立．故选：C．2.已知0a，0b，431ab，则13ba的最小值为（）A．13B．19C．21D．27【答案】D【详解】114433331291524927bbaabaabab…，当且仅当49abab，即19a，b＝6时，等号成立，故13ba的最小值为27。故选：D3.已知正实数a，b满足a＋b＝1，则222124abab的最小值为_____【详解】因为1ab，且,ab都是正实数.所以2221241414222ababababab14144421277211babaababababab当且仅当12,33ab时，等号成立.所以222124abab的最小值为11【做题技巧】1.基本公式2221a222abbabababab（）；（2）；（3）2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。高频考点三“和”与“积”互消型例3、已知x、y都是正数，且满足230xyxy，则xy的最大值为_________．【答案】18.【详解】因为,0xy，且230xyxy，所以30222xyxyxy，（当且仅当2xy时，取等号）即202230xyxy，解得3522xy，所以得180xy，所以xy的最大值是18.此时6x，3y.故答案为：18.【变式训练】1.已知0x，0y，且420xyxy，则2xy的最小值为（）A．16B．842C．12D．642【答案】A【详解】由题可知241xy，乘“1”得2482822(2)82816xyxyxyxyxyyxyx，当且仅当82xyyx时，取等号，则2xy的最小值为16.故选：A2.已知0,0xy，且2969xyxy，则29xy的最小值为___________．【答案】6【详解】由2969xyxy，得69(29)xyxy，又0,0xy，21129629332xyxyxy，219(29)(29)12xyxy，即2(29)12(29)1080xyxy，解得：296xy或2918xy，又290xy，296xy，当且仅当29xy，即31,23xy时取等号．故答案为：6．【基本规律】1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1；2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析；3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2。高频考点四以分母为主元构造型例4、已知非负数,xy满足1xy，则1912xy的最小值是（）A．3B．4C．10D．16【答案】B【详解】由1xy，可得124xy，19119()(12)12412129(1)129(1)(19)(102)4412412xyxyxyyxyxxyxy当且仅当(21)3yx取等号，故选：B【变式训练】1.已知1,0xy，且1211xy，则21xy的最小值为（）A．9B．10C．11D．726【答案】A【详解】1xQ，10x，又0y，且1211xy，1222(1)22(1)21(1)2552111yxyxxyxyxyxyxy9，当且仅当22(1)1yxxy，解得4x，3y时等号成立，故21xy的最小值为9．故选：A．2.已知正数a、b满足1ab，则411abab的最小值是（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【详解】已知正数a、b满足1ab，则414141511babaabbaba4144524abababbababa，当且仅当2ba时，等号成立，因此，411abab的最小值是4.故选：C.3.设0xy，则41xxyxy的最小值为（）A．32B．23C．4D．3102【答案】A【详解】0xy，0xy，41141122xxyxyxyxyxyxy1411222223222xyxyxyxy，当且仅当1411,22xyxyxyxy，即322,22xy时取等号故选：A【基本规律】构造分母型：1.以分母为主元构造，可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式23.变式3是三项构造，且无条件等式。高频考点五构造分母：待定系数例5、已知正实数x，y满足434xy，则112132xy的最小值为（）A．3284B．1223C．1223D．1222【答案】A【详解】由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.所求11111121221213288ababxyababba412221328=8abba当且仅当2abba时取等号，所以答案为3284.故选:A.【变式训练】1.知正实数x、y满足11132xyxy，则xy的最小值为（）A．3225B．3325C．2225D．2325【答案】A【详解】设3223xymxynxymnmny，可得2131mnmn，解得1525mn，所以，22111133223532532xyxyxyxyxyxyxyxyxy2233132232552xyxyxyxy.当且仅当322xyxy时，等号成立，因此，xy的最小值为3225.故选：A.2.已知0a，0b，21ab，则11343abab取到最小值为．【答案】3225．【解析】试题分析：令2(34)(3)(3)(43)abababab，∴131543225，∴111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343abababababababababab322(3)34322553435abababab，当且仅当212(3)34343ababababab时，等号成立，即11343abab的最小值是3225．【基本规律】特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”方法：直观凑配或者分母换元高频考点六分子含参型：分离分子型例6、若40xy，则4yxxyy的最小值为___________.【答案】54【详解】因为40xy，则40xy，444141244444444444yxyxyxyyyxyyxyxyyxyyxyyxyyxyy1152244，当且仅当42xyy，即当34yx时，等号成立，因此，4yxxyy的最小值为54.故答案为：54.【变式训练】1.已知正实数,ab满足22ab，则22121abab的最小值是（）A．94B．73C．174D．133【答案】A【详解】221212(1)2(1)21222111abbbbaabababab，因为22ab，所以22121214112(1)abababab，因为22ab，所以2(1)4ab，因此11411412(1)44[][2(1)][][5]42(1)42(1)42(1)baabababab，因为,ab是正实数，所以12(1)412(1)49[5][52]42(1)42(1)4babaabab，（当且仅当2(1)42(1)baab时取等号，即1ab时取等号，即41,33ab时取等号），故选：A2.若,xyR，且21xy，则22212xy