第01讲 函数的概念与性质（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第1讲二次函数与一元二次方程、不等式本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，配合导数的几何意义对学生的逻辑思维能力要求很高。主要学习用集合语言和对应关系刻画函数概念。通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识。学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法。考点一函数的概念及其表示1.函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交.4．常用结论(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．考点二函数的基本性质1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值3.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－关于原点对称f(x)，那么函数f(x)是奇函数4.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.注意：（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.（4）函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0).③若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0).5.对称性的三个常用结论①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.高频考点一函数的概念及其表示例1、下列命题中，正确的有()A.函数11yxx与函数21yx表示同一函数B.已知函数(21)46fxx，若()10fa，则9aC.若函数，则221fxxxx…D.若函数()fx的定义域为0,2，则函数2fx的定义域为0,4【答案】BC【解析】解：()11fxxx的定义域是10{|}{|1}10xxxxx………，2()1gxx的定义域是2{|10}{|1xxxx厖，或1}x„，两函数的定义域不同，故不是同一函数，A错误;函数(21)46fxx，若()10fa，则21446109xaxxa，故B正确；若函数213(1)(1)2fxxxxx，则221fxxxx…，故C正确；若函数()fx的定义域为0,2，则函数2fx中，02201xx剟剟，即函数2fx的定义域为0,1，故D错误.【变式训练】1、若函数22ln2yxxax的定义域为1,，则a（）A．3B．3C．1D．1【答案】A【解析】由22020xxax，得2202xxax，由题意可知上式的解集为1,，所以1x为方程220xxa的一个根，所以120a，得3a，故选：A高频考点二函数的基本性质例2：已知函数fx是奇函数，且在(0,)上是减函数，且在区间[,](0)abab上的值域为[3,4]，则在区间[,]ba上()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值3D.有最小值3【答案】B【解析】解：函数fx是奇函数，在(0,)上是减函数，fx在(,0)上也是减函数，在区间[,](0)abab上的值域为[3,4]，最大值为()4fa，最小值为()3fb，fx在区间[,]ba上也是减函数，且最大值为()()3fbfb，最小值为()()4fafa，故选：.B【变式训练】1．设函数2,0()1,0xxfxx„，则满足(1)(2)fxfx的x的取值范围是（）A．（－∞，－1]B．（0，＋∞）C．（－1，0）D．（－∞，0）【答案】D【解析】解：函数2,0()1,0xxfxx„，的图象如图：满足(1)(2)fxfx，可得：201xx或210xx„，解得(,0)x．故选：D.高频考点三中心对称性质：几个复杂的奇函数例3、对于定义在D上的函数fx，点,Amn是fx图像的一个对称中心的充要条件是：对任意xD都有22fxfmxn，判断函数32234fxxxx的对称中心______.【答案】270327，【分析】根据点,Amn是fx图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.解：因为32234fxxxx，由于32322222223323234xfxfxxxxx701403422327272x.即23m，7027n.所以270327，是32234fxxxx的一个对称中心.故答案为：270327，.【变式训练】1、设函数2ln1fxxx，若a，b满足不等式22220faafbb，则当14a时，2ab的最大值为A．1B．10C．5D．8【答案】B【详解】因为22()ln1ln10fxfxxxxx,所以函数()fx为奇函数,又因为220ln1-ln1xfxxxxx时为单调减函数,且(0)0f所以()fx为R上减函数,因此2222222202222faafbbfaafbbfaafbb222222(1)(1){{2020ababaabbababab或,因为14a,所以可行域为一个三角形ABC及其内部,其中(1,1),(4,4),(4,2)ABC,因此直线2zab过点C时取最大值10,选B.【基本规律】1、若fx满足2faxfbxc，则fx关于,2abc中心对称aaaaa22aam-nm+n1-1-kx-1y=logy=loglogloglog+-1+1+kx+1+1-111+y=,y=,y=y=1+11+1y=logkx+1kxy=logx+1+xxxxxxxxxxxxxmnxmnxxxaaaaaaaa2、特殊的奇函数：（考试难点）：①、对数与反比例复合：②、指数与，，如：，，：，：（（）），如：（（反比例复合③、对数与无理）式复合）3.+m1my=012xxaa形如对称中心为（，）高频考点四轴对称例4：已知函数222212222xxxfxeaa有唯一零点，则负实数a（）A．2B．12C．1D．12或1【答案】A【解析】函数222212222xxxfxeaa有有唯一零点，设1xt，则函数212222tttfxeaa有唯一零点，则212222ttteaa3e|t|-a（2t+2-t）=a2，设1122222222ttttttgteagteagt（），（）（），∴gt（）为偶函数，∵函数ft（）有唯一零点，∴ygt（）与2ya有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，22aa，解得2a或1a（舍去），故选A．【变式训练】1.已知函数22241xxfxxxeex在区间1,5的值域为,mM，则mM（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【详解】解：24xxyxeex在3,3上为奇函数，图象关于原点对称，222222412423xxxxfxxxeexxeex是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以fx图象关于2,3对称，则6mM，故选C.【基本规律】1.函数fx对于定义域内任意实数x满足faxfbx，则函数fx关于直线2abx对称，特别地当2fxfax时，函数fx关于直线xa对称；2.如果函数xfy满足xafxaf，则函数xfy的图象关于直线ax对称.3.)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。高频考点五中心对称和轴对称构造出周期性例5：已知函数𝑓(𝑥)为定义域为𝑅的偶函数，且满足𝑓(12+𝑥)=𝑓(32−𝑥)，当𝑥∈[−1 ，  0]时，𝑓(𝑥)=−𝑥.若函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥+41−2𝑥在区间[−9 ，  10]上的所有零点之和为__________．【答案】5【详解】∵足𝑓(12+𝑥)=𝑓(32