第02讲 复合函数与幂函数（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第2讲复合函数与幂函数本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，主要通过对函数定义的理解解决抽象函数相关的问题，包括定义域和值域的一系列题型思想，对学生的逻辑思维能力包括对函数的理解需要透彻。此外增加一个基本初等函数中的幂函数，也是高中需要学习的函数之一。考点一复合函数1.复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.2.函数的复合单调性的变化:f(x)+g(x)=h(x)f(x)-g(x)=h(x)增+增=增增-增增+减增-减=增减+减=减减-减减+增减-增=减注意：加同不变，减异随前。3.复合函数的单调性变化)(xgfy)(xgu内函数)(ufy外函数)(xgfy增增增增减减减增减减减增注意：同增异减，即内外函数单调性相同时，单调性递增；反之，递减。考点二幂函数1.幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2.5个常见幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x321xyy＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)高频考点一已知f(x)定义域，求f(g(x))的定义域例1、已知函数fx的定义域为3,5，则函数21fx的定义域为（）A．1,2B．7,11C．4,16D．3,5【答案】A【解析】∵fx的定义域为3,5，∴35x，由3215x，得12x，则函数21fx的定义域为1,2故选：A.【变式训练】1、若函数fx的定义域为0,2，则函数lggxfx的定义域为______．【答案】1，100【解析】()fx的定义域为02，lg0，2x1，100x即()(lg)gxfx的定义域为1，100故答案为：1，100【基本规律】1、抽象函数求解解析式：2、求解定义域就是求解x的取值范围；3、f()相同(对应法则相同条件)下“（）”内取值范围相同。注意：抽象函数求解定义域问题时要考虑定义域范围内的单调性问题。高频考点二已知f(g(x))定义域，求f(x)的定义域例2、已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（）A．[0，5]B．[-1，4]C．[-3，2]D．[-2，3]【答案】B【解析】∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，∴-2≤x≤3，∴-1≤x+1≤4，∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4].故选：B【变式训练】1、已知21fx的定义域为3,3，则fx的定义域为（）A．22,B．0,2C．1,2D．3,3【答案】C【解析】因为2(1)fx的定义域为[3,3]，所以33x，所以2112x，所以()fx的定义域为[1,2]．故选：C高频考点三已知f(g(x))定义域，求f(h(x))的定义域例3、已知函数1fx的定义域为1,1，则fx的定义域为（）A．2,2B．2,00,2C．1,00,1UD．1,02【答案】B【解析】依题意函数1fx的定义域为1,1，11012xx，所以02x，解得20x或02x，所以fx的定义域为2,00,2.故选：B【变式训练】1、已知函数1fx定义域为1,4，则函数1fx的定义域为_______.【答案】3,6【解析】因1fx的定义域为1,4，则当14x时，215x，即fx的定义域为2,5，于是1fx中有215x，解得36x，所以函数1fx的定义域为3,6.故答案为：3,6高频考点四复合函数定义域例4、已知函数()yfx的定义域为[8,1]，则函数(21)()2fxgxx的定义域是（）A．(,2)(2,3]B．[8,2)(2,1]C．9[,2]2D．9[,2)2,02【答案】D【解析】解：由题意得：8211x剟，解得902x剟，由20x解得2x，故函数的定义域是9,2)(2,02.故选：D【变式训练】1、已知函数fx的定义域为()0,1，若10,2c，则函数gxfxcfxc的定义域为（）A．,1ccB．,1ccC．1,ccD．,1cc【答案】B【解析】由题意得：0101xcxc，即11cxccxc，又10,2c，∴1cxc．故选：B高频考点五抽象函数的值域例5：fx是R上的奇函数，gx是R上的偶函数，若函数fxgx的值域为1,4，则fxgx的值域为_____________．【答案】4,1【解析】解：由fx是R上的奇函数，gx是R上的偶函数得到fxfx，gxgx因为函数fxgx的值域为1,4即14fxgx所以14fxgx又fxfx，gxgx得41fxgx所以fxgx的值域为：4,1.故答案为：4,1.【变式训练】1.已知定义在R上的函数()fx满足对任意实数x，都有(1)()(1)xfxxfx，且(1)1f，则(2021)f________．【答案】2021【解析】由题意，函数()fx满足对任意实数x，都有(1)()(1)xfxxfx，且(1)1f，当0x且1x时，可得()(1)1fxfxxx，则(2021)(2020)20212020ff(1)11f，所以(2021)2021f．故答案为：2021.高频考点六复合函数的值域例6、已知定义在R上的函数()fx满足(1)()fxfx，若函数()()gxfxx在区间[1,2]上的值域为[1,3]，则()gx在区间2021,2021上的值域为__________.【答案】2020,2025【解析】因为(1)(1)111gxfxxfxxgx，故对任意的整数k，当1,2xkk时，1,2xk，而()1122gxgxgxgxkk且1,3gxk，故()1,3gxkk，故()gx在区间2021,2021上的值域为：|20202016|20192015|20212025yyyyyy，即为2020,2025.故答案为：2020,2025.【变式训练】1.若函数()yfx的值域是1,3，则函数()32(1)gxfx的值域为__．【答案】3,5【解析】因为函数()yfx的值域是1,3，所以函数(1)yfx的值域为1,3，则2(1)yfx的值域为6,2，所以函数()32(1)gxfx的值域为3,5．故答案为：3,5．高频考点七幂函数例7、现有下列函数：①3yx；②12xy；③24yx；④51yx；⑤21yx；⑥yx；⑦(1)xyaa，其中幂函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】幂函数满足ayx形式，故3yx，yx满足条件，共2个故选：B【变式训练】幂函数226633mmfxmmx在0,上单调递减，则m的值为______．【答案】2【解析】解：因为函数226633mmfxmmx是幂函数，则有2331mm，解得1m或2m，当1m时，函数()fxx在0,上单调递增，不符合题意，当2m时，函数2()fxx在0,上单调递减，符合题意.所以m的值为2m故答案为：2