第01讲 一元函数的导数及其应用（练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第01讲一元函数的导数及其应用（一）1．若“2,[1]x，使2210xx成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（）A．(,22)B．922,2C．(,3]D．9,2【答案】C【详解】若“2,[1]x，使2210xx成立”是假命题,则1,2x，使2210xx成立是真命题，即1,2x，12xx，令1,212,fxxxx，则22212120xfxxx，则fx在1,2x上单调递增，min13fxf，则3.故选:C.2．若函数2lnfxxx，满足fxax恒成立，则a的最大值为（）A．3B．4C．3ln2D．3ln2【答案】C【详解】解：因为2lnfxxx，满足fxax恒成立，所以min2lnaxxx，令2()lngxxxx，则222221212()10xxxxgxxxxxx，令()0gx，得2x，令()0gx，得02x，所以()gx在0,2上单调递减，在2,上单调递增，所以min()(2)3ln2gxg，所以3ln2a，所以a的最大值为3ln2，故选：C.3．下列求导运算错误的是（）.A．1eexxxxB．21logln2xxC．33ln3xxD．2sin2cosxxxx【答案】D【详解】解：A选项中，22eeee1eeeexxxxxxxxxxxxx，故正确；B选项中，21logln2xx，故正确；C选项中，33ln3xx，故正确D选项中，2222sinsinsin2sincosxxxxxxxxxx，故错误，故选：D.4．若函数2()()2fxxxcx在处有极大值，则常数c的值为（）A．4B．26或C．2D．6【答案】D【详解】函数32222()2,()343()()3cfxxcxcxfxxcxcxxc，依题意得(2)0f，即2c或6c，2c时，2()3()(2)3fxxx，当223x时，()0fx，当2x时，()0fx，则()fx在2x处取极小值，不符合条件，6c时，()3(2)(6)fxxx，当2x时，()0fx，当26x时，()0fx，则()fx在2x处取极大值，符合条件，所以常数c的值为6.故选：D.5、在曲线31yxx的所有切线中，与直线44yx平行的共有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【详解】由2213yxx，令22134xx，得1x或33x，当1x时，曲线31yxx在点1,0处的切线与直线44yx重合，故在曲线31yxx的所有切线中，与直线44yx平行的共有3条．故选:C.6．已知()fx是函数()fx的导数，且()()fxfx，当0x时，()3fxx，则不等式3()(1)32fxfxx的解集是（）A．1(,0)2B．1(,)2C．1(,)2D．1(,)2【答案】D【详解】设23()()2gxfxx，则()()3gxfxx，因为当0x时，()3fxx，所以当0x时，()0gx，即()gx在[0,)上单调递增，因为()()fxfx，所以()fx为偶函数，则()gx也是偶函数,所以()gx在(,0]上单调递减.因为3()(1)32fxfxx,所以2233()(1)(1)22fxxfxx,即()(1)gxgx,则1xx，解得12x，故选：D.7．若函数2()ln5fxxaxx在区间11,32内单调递增，则实数a的取值范围为（）A．(,3]B．3,2C．253,8D．25,8【答案】D【详解】函数()fx在11,32内单调递增，则1()250fxaxx在11,32x恒成立，即2152axx在11,32x上恒成立，又22151525256,244xxx，所以2524a，即258a.故选:D.8．已知函数2eexxfxxa，0a，记0.5log3mf，2log5nf，eapf，则m，n，p，的大小关系为（）A．mnpB．mpnC．pmnD．nmp【答案】C【详解】解：很显函数是定义在R上的偶函数，由于eexxy的导函数eexxy单调递增，且0x时，0y，当0x时，则0y，函数eexxy在0，上单调递增，故函数fx在0，上单调递增，0.522logloglo333gmfff，22e1log32log5a，pmn，故选：C．9．若08a且88aa，032b且3232bb，03c且33cc，则（）A．abcB．cbaC．bacD．acb【答案】A【详解】由88aa，两边同时以e为底取对数得lnln88aa，同理可得lnln3232bb，lnln33cc，设lnxfxx，0x，则8faf，32fbf，3fcf，21lnxfxx，令0fx，解得ex，当0,ex时，0fx，函数fx单调递增，当e,x时，0fx，函数fx单调递减，则,,0,eabc，且3832fff，所以fcfafb，故cab，故选：A.10．若函数36fxxxm恰有2个不同的零点，则实数m的值是_________.【答案】42或42【详解】因为36fxxxm恰有2个不同零点，故函数316fxxx与2fxm，恰有2个交点，对于316fxxx，2136fxx，由10fx，得2x或2x，由10fx，得22x，所以当x变化时1fx，1fx变化如下：x,222,222,1fx+00+1fx极大值极小值因为1fx与2fx恰有两个交点，又12226242f，242f，故12mf，或12mf，所以42m或42m.故答案为：42或42.11．已知函数lnfxxxax．(1)讨论函数fx在区间1,上的单调性；(2)当3a时，证明：22fxx．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】（1）lnfxxxax，定义域为0,，ln1fxxa，又1x，ln11fxxaa，所以当1a时，0fx恒成立，函数fx在1,单调递增；当1a时，令ln10fxxa，解得1eax，当1eax时，0fx，当1eax时，0fx，所以函数fx在11,ea上单调递减，在1e,a上单调递增；综上所述：当1a时，函数fx在1,单调递增；当1a时，函数fx在11,ea上单调递减，在1e,a上单调递增；（2）当3a时，22fxx即2ln32xxxx，0,x，可转化为2ln30xxx，令2ln3gxxxx，则2222122121xxxxgxxxxx令0gx，解得1x，2x（舍）x0,111,gx000gx单调递减极小值单调递增可得函数gx在1,上单调递增，在0,1上单调递减，所以112030gxg，故不等式22fxx成立．1．已知02,1,1babab，且满足logbaab，则下列正确的是（）A．1abB．1(1)baabC．11ababaabbD．52ab【答案】B【详解】由logbaab，可得1logloglogbababa，所以log1ba，或log1ba，∴ba(舍去)，或1ba，即1ab，故A错误；又02bab，故120aaa，∴12a，对于函数112yxxx，则2221110xyxx，函数112yxxx单调递增，∴1322,2abaa，故D错误；∵02bab，112ab，∴1212abb，令ln12xgxxx，则21ln0xgxx，∴函数ln12xgxxx单调递增，∴ln1ln1baab，即1lnln1baab，∴1lnln1abab，即1(1)baab，故B正确；∵011bab，∴函数,xxyayb单调递增，故函数xxyab单调递增，∴11aabbabab，即11ababaabb，故C错误.故选：B.（多选）2．已知函数e1,1lnxfxxgxxx，若120fxgx，则21xx可取（）A．1B．2C．eD．2e【答案】CD【详解】因为120fxgx，所以120,1xx，因为e()0ee111xxxxxxf恒成立，所以fx在(0,)上单调递增，又ln1lnlne1xgxxxx，因为12fxgx，即12ln12e1lne1xxxx，所以1122lnexxxx，所以12111e,0xxxxx，记e(),(0)xhxxx，所以2(1)()xexhxx当01x时，()0hx，()hx单调递减，当1x时，()0hx，()hx单调递增，所以()(1)ehxh，即21exx故选：CD.（多选）3．已知()exxfx，函数()fx的导函数为()fx，下列说法正确的是（）A．(0)1fB．单调递增区间为(1,)C．()fx的极大值为1eD．方程()1fx有两个不同的解【答案】AC【详解】由题意知：1()exxfx，所以(0)1f，A正确；当1x时；()0fx，()fx单调递增，当1x时；()0fx，()fx单调递减，B错误;()fx的极大值为1(1)ef，C正确；方程()1fx等价于1eexxxx,易知函数exy与函数yx有且只有一个交点，即方程()1fx有且只由一个解，D错误;故选：AC.4．已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36，则该正三棱锥体积的最大值为___________.【答案】83【详解】因为2436VR球，所以正三棱锥外接球半径3R，正三棱锥如图所示，设外接球圆心为O，过PO向底面作垂线垂足为D，ODa(03)a因为PABC是正三棱锥，所以D是ABC的中心，所以3OPOA，2229ADOAODa,又因为23ADB，所以239ABBCACa2133sin(9)234ABCSABACa，所以232133(9)(3)(3927)344PABCABCVSPDaaaaa，令32()3927faaaa