第02讲 一元函数的导数及其应用（二）（练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第02讲一元函数的导数及其应用（二）1．已知点1,1P在曲线2xyxa上，则曲线在点P处的切线方程为_________.【答案】 32yx【详解】因为点1,1P在曲线2xyxa上，111a，可得2a，所以，22xyx，对函数求导得222222422xxxxxyxx，则曲线在点P处的切线斜率为13xky，因此，曲线在点P处的切线方程为131yx，即32yx.故答案为：32yx.2．过曲线cosyx上一点π1,32P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的方程为（）A．2π323032xyB．3π32103xyC．2π323032xyD．3π32103xy【答案】A【详解】解：∵cosyx，∴sinyx，曲线在点π1,32P处的切线斜率是π3π3sin32xy，∴过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为23，∴所求直线方程为12π233yx，即2π323032xy．故选：A.3．已知曲线3yax与直线640xy相切，则实数a的值为__________.【答案】2【解答】解：设切点为(,)mn，由3yax得'23yax，则由题意得，2336640ammnnam，解得1,2,2mna，故答案为：24．若曲线xfxmxen在1,1f处的切线方程为yex，则mn__________【答案】12e解：将1x代入yex，得切点为1,e，emen①，又1xfxmex，12fmee，12m②.联立①②解得：12m，2en，故11222eemn.故答案为：12e5、过点(0,1)作曲线()lnfxx（0x）的切线，则切点坐标为________．【答案】(,1)e【详解】由()lnfxx（0x），则2()ln,0fxxx，化简得()2ln,0fxxx，则2()fxx，设切点为00(,2ln)xx，显然(0,1)不在曲线上，则0002ln12xxx，得0xe，则切点坐标为(,1)e.故答案为：(,1)e.6．已知函数()xafxxe存在单调递减区间，且()yfx的图象在0x处的切线l与曲线xye相切，符合情况的切线l（）A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在【答案】D【解析】试题分析：1xaefxa，依题意，0fx在R上有解.当0a时，0fx在R上无解，不符合题意；当0a时，0,,lnxafxaexaa符合题意，故0a.易知曲线yfx在0x处的切线为111yxa.假设该直线与xye相切，设切点为()00,xy，即有0011111xexaa，消去a化简得0001xxexe，分别画出,1xxexe的图像，观察可知它们交点横坐标01x，0xee，这与111a矛盾，故不存在.7．曲线1()xfxe与曲线()lngxx有（）条公切线.A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】设010,xxe是曲线fx图像上任意一点，'1xfxe，所以01'0xfxe，所以过点010,xxe的切线方程为00110xxyeexx，整理得001101xxyexxe①.令01'1xgxex，解得011xxe，则101gxx，所以曲线gx上过点010,1xex的切线方程为：001101xxyxexe，整理得010xyexx②.由于切线①②重合，故01001xxex，即010010xxex③.构造函数11xhxxex，则'11xhxxe，''11xhxxe，故当1x时'''0,hxhx递减、当1x时'''0,hxhx递增，注意到当0x时'0hx，且'10h，所以当1x时'0,hxhx递减，当1x时，'0,hxhx递增，而22110,110,220hhhee，根据零点存在性定理可知在区间1,1,1,2各存在hx的一个零点，也即hx有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线fx和曲线gx有两条公切线.故选：B8．已知点M在函数()xfxe图象上，点N在函数()lngxx图象上，则||MN的最小值为（）A．1B．2C．2D．3【答案】B【分析】根据函数()xfxe与函数()lngxx互为反函数，将问题转化为求函数()xfxe的图象与直线yx平行的切线的切点00(,)xy到直线yx的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果.【详解】因为函数()xfxe与函数()lngxx互为反函数，它们的图象关于直线yx对称，所以||MN的最小值为函数()xfxe的图象上的点M到直线yx的距离的2倍，即为函数()xfxe的图象与直线yx平行的切线的切点00(,)xy到直线yx的距离的两倍，因为()xfxe，所以函数()xfxe的图象上与直线yx平行的切线的斜率01xke，所以00x，所以切点为(0,1)，它到直线yx的距离|01|2211d，所以||MN的最小值为2.故选：B.9．设0b，当224()()abab取得最小值c时，函数()||||fxxbxc的最小值为___________.【答案】10【详解】解：224()()abab表示点(,)Aaa与点4(,)Bbb距离的平方，而点A是直线yx上任一点，点B是反比例函数4yx在第四象限上的点，当B是斜率为1的直线与4yx相切的切点时，点B到直线yx的距离即为||AB的最小值，由2244,|1,2(0),(2,2)xbyybbBxb，min4||22,82ABc，所以()|||||2||8|(2)(8)10fxxbxcxxxx，当且仅当28x取等号，所以函数()||||fxxbxc的最小值为10，故答案为：1010．若曲线lnyx在点11,Pxy处的切线与曲线xye相切于点22,Qxy，则12111xxx__________.【答案】0【详解】lnyx的导数为1yx，可得曲线lnyx在点11,Pxy处的切线方程为1111lnyxxxx，xye的导数为exy，可得曲线xye在点22,Qxy处的切线的方程为222xxyeexx，由两条切线重合的条件，可得211xex，且212ln11xxex，则21lnxx，即有1111ln11lnxxx，可得1111ln1xxx，则121111lnln01xxxxx.故答案为:01．已知曲线2()lnxfxxa在点(1,(1))f处的切线的倾斜角为3π4，则a的值为（）A．1B．1C．12D．4【答案】B解:函数2lnxfxxa的导数'12()xfxxa=+,函数f(x)在x=1处的倾斜角为34,'(1)1f,211a+=-,1a故选B.2．曲线sin21yxx在点P处的切线方程是310xy，则切点P的坐标是____________.【答案】0,1【详解】由函数sin21yxx，则cos2yx，设切点P的坐标为00,xy，则斜率00cos23xxkyx，所以0cos1x，解得02()xkkZ，当0k时，切点为0,1，此时切线方程为310xy；当0k，切点为(2,41)()kkkZ，不满足题意，综上可得，切点为0,1.故答案为：0,1.3．已知x轴为曲线34411fxxax的切线，则a的值为________.【答案】14【详解】由题意21241fxxa，设x轴与曲线fx的切点为0,0x，则3002004411012410xaxfxxa，解得01214xa.故答案为：14.4．已知曲线elnxyaxx在点1,ae处的切线方程为2yxb，则（）A．,1aebB．,1aebC．1,1aebD．1,1aeb【答案】D【详解】ln1,xyaex1|12xkyae，1ae将(1,1)代入2yxb得21,1bb，故选D．5．已知直线yax是曲线lnyx的切线，则实数a（）A．12B．12eC．1eD．21e【答案】C【详解】设切点为00(,ln)xx，∴切线方程是000001ln()ln1xyxxxyxxx，∴0011ln10axaex，故答案为：C6．已知函数3291,fxxaxxaR，当01x时，曲线yfx在点00,xfx与点002,2xfx处的切线总是平行时，则由点,aa可作曲线yfx的切线的条数为（）A．1B．2C．3D．无法确定【答案】C【解析】详解：由3291fxxaxx，得2'329fxxax，曲线yfx在点00,xfx与点002,2xfx处的切线总是平行，'yfx关于1x对称，即133aa，点,aa，即为3,3，所以32391fxxxx，2'329fxxax，设切点为,tft切线的方程为3'3yftx，将点32,391tttt代入切线方程可得3223933693tttttt，化为322636310ttt，设32263631gtttt2'61218gttt令'0gt得3t或1t，令'0gt得10t，32263631gtttt在,1,3,上递增，在1,3上递减，t在1处有极大值，在3处有极小值，110g且31390g，32263631gtttt与x有三个交点，方程0gt有三个根，即过,aa的切线有3条，故答案为3.7．若函数()ln(0)fxxx与函数2()gxxa有公切线，则实数a的最小值为（）A．11ln222B．ln21C．12D．ln2【答案】A【解析】【详解】解：'1()fxx，设公切线与曲线()lnfxx相切的切点为,ln,0mmm，则公共切线为1lnyxmmm，即ln0xmymmm，其与2yxa相切，联立消去y得：2ln0mxxammmm，则14ln0mammmm有解，即211ln4amm有解，令211ln4hmmm，0m，则2'33112122mhmmmm，令232102mm，得22m，则211ln4hmmm在20,2上单调递减，在2,2上单调递增，则2min2121ln2224211ln222hmh，则11ln222a，所以实数a的最小值为11ln222.故选：A.8．抛物线上的一动点到直线距离的最小值是A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：对y=x2求导可