第01讲 数列的概念与简单表示法（讲）（解析版）

第01讲数列的概念与简单表示法本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.考点一数列的定义与分类1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列考点二数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.考点三数列的通项公式与递推公式1.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.2.数列的递推公式如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.考点四常用结论1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.高频考点一由数列的递推关系求通项角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an【例1】在数列na中，1322nnaan，12a，则30a（）．A．659B．661C．663D．665【答案】D【分析】由累加法和等差数列的前n项和可求出3011965296672aa，代入化简即可求出30a.【详解】因为1322nnaan，所以2119aa，3216aa，…，302965aa，所以3011965296672aa，故301667665aa．故选：D.角度2累乘法——形如an＋1an＝f(n)，求an【例2】已知数列na中，114a，112121nnnnaaaan，则满足11000na的n的最大值为（）A．3B．5C．7D．9【答案】B【分析】根据数列的递推关系式，运用累乘法计算出数列na的通项公式，再根据不等式求解n的最大值.【详解】根据题意，111212nnnnnanaaa化简得，122nnanan12121121,,,22+1223nnnnaaannnanana运用累乘法计算得21123211····,221221242321nnannnnannnnn，且114a，1,221nnannn，114a符合该式，11000na时，211000nnn5n时，219601000nnn；6n时，2126881000nnn所以满足条件的n的最大值为5.故选：B.角度3构造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an【例3】已知数列na满足1132nnnaaa，且10a，62022a，则2a（）A．202231B．202233C．202263D．202265【答案】A【分析】由1132nnnaaa可得112nnnnaaaa，即数列1nnaa是以212aaa为首项，2为公比的等比数列，再根据61，aa的值求出2a可得答案.【详解】由1132nnnaaa，可得112nnnnaaaa，若10nnaa，则6510aaa，与62022a矛盾，故10nnaa，所以112nnnnaaaa，即数列1nnaa是以212aaa为首项，2为公比的等比数列，所以1122nnnaaa，又433616554433221222222aaaaaaaaaaaaaaa2102222222312022aaaa，所以2202231a.故选：A.【方法技巧】1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且anan－1＝f(n)，可用“累乘法”求an.2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0).把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解.【跟踪训练】1．已知nS为数列na的前n项和，若1222,10nnaaS，则na的通项公式为（）A．34nnaB．22nnaC．2nannD．231nan【答案】B【分析】先由题设求出1a，再通过构造得1222nnaa，由等比数列的通项公式即可求解.【详解】令1n可得2122aa，又21210Saa，解得14a，又12242(2)nnnaaa，则122a，1222nnaa，即2na是以2为首项，2为公比的等比数列，则1222nna，22nna.故选：B.2．已知数列na满足11a，对任意的nN都有11nnaan，则10a（）A．36B．45C．55D．66【答案】C【分析】利用累加法可求得na，代入10n即可求得10a.【详解】由11nnaan得：11nnaan，1nnaan，121nnaan，232nnaan，…，212aa，各式作和得：112232nnnaan，1212nnna，109121552a.故选：C.3．已知1112,nnnaaan，则2016a（）A．504B．1008C．2016D．4032【答案】D【分析】根据数列的递推式，变形为11nnanan，采用累乘法，求得答案.【详解】由1112,nnnaaan可得：11nnanan，故2016201522016120152014120162015224032201520141aaaaaaaa，故选：D.4．某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为nP，则6P＝（）A．316B．14C．516D．38【答案】C【分析】要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有12的概率将球传给甲，有1112nnPP，设11++2nnPP，可求得，从而有13nP是以23为首项，以12为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得nP，代入可求得6P.【详解】解：要想第n次触球者是甲，则第（n-1）次触球的人不能是甲，且第（n-1）次触球的人有12的概率将球传给甲，所以1112nnPP，即111+22nnPP，设11++2nnPP，则13，所以1111323nnPP，所以13nP是以23为首项，以12为公比的等比数列，所以1121332nnP，即1211+323nnP，所以6162115+32316P，故选：C.5．数列na满足111122nnnaa，且112a，若13na，则n的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】分析可知数列2nna是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列na的通项公式，然后分析数列na的单调性，可得结果.【详解】因为111122nnnaa，等式两边同时乘以12n可得11221nnnnaa，所以，11221nnnnaa且121a，所以，数列2nna是等差数列，且首项和公差都为1，则211nnann，所以，2nnna，因为111111212222nnnnnnnnnnnaa.当1n时，1212aa；当2n时，1nnaa，即数列na从第二项开始单调递减，因为33183a，41143a，故当3n时，13na；当4n时，13na.所以，13na，则n的最小值为4.故选：B.高频考点二由an与Sn的关系求通项【例4】(1)已知数列na的前n项和nS满足(3),2nnnaS且315,S则8S（）A．60B．70C．80D．90【答案】C【分析】根据递推公式，结合前n项和与通项的关系可得21nan，再求解8S即可【详解】由题意23nnSnan，故当1n时，1123aa，即13a.当2n时，222326aa恒成立，当3n时，3323930Sa，解得37a.当3n时，112131nnSnan，故1213nnnanana，即1213nnnana，1131131212221nnnaaannnnnnn，故1331122nnaannnn，故当3n时，311nann为常数列，故33321122naann，故3211nann，即321213nannn，又12315aaa，故215375a，故当1,2n时21nan也成立，故*21Nnann.故32122nnnSnn，故881080S故选：C(2)已知数列na满足12a，且*11NnnaSn，则10S（）A．1023B．1535C．1538D．2047【答案】B【分析】根据11nnaS的关系可得12nnaa，进而可得na从第二项起，成等比数列，公比为2，根据等比数列公式即可求解.【详解】由*11NnnaSn得112nnaSn，进而可得：1122nnnnnaaanaa，当1n时，211=3aS，故na从第二项起，成等比数列，公比为2，故9910123103122=321=153512Saaaa，故选：B【方法技巧】1.由Sn求an的步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.2.Sn与an关系问题的解题思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化，(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式求解；(2)转化为只含an，an－1(n≥2)的关系式.【变式训练】1．在等比数列na中，已知前n项和2nnSa，则a的值为（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】B【分析】利用123,,aaa成等比数列列方程，化简求得a的值.【详解】112213322,2,4aSaaSSaSS，由于na是等比数列，所以2213aaa，即