第02讲 双曲线（练）（解析版）

第02讲双曲线（练）一、单选题1．已知双曲线22221xyab的离心率为2，实轴长为2，实轴的左端点为A，虚轴的上顶点为,BC为右支上任意一点，则ABC面积的取值范围为（）A．1,4B．(2,)C．(1,)D．1,2【答案】D【分析】根据题意列式求解,,abc，再结合双曲线的渐近线分析可得C到直线AB的距离大于两平行线间距离，运算求解.【详解】由已知得222222aceaabc，解得112abc，故双曲线的方程为221xy，1,0,0,1AB，∵直线AB的方程为10xy，与一条渐近线0xy平行，两平行线间距离122102211d，所以C到直线1yx的距离122dd，即d的取值范围为2,2，又∵2AB，所以ABC面积1122SABd，故ABC面积的取值范围为1,2.故选：D.2．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左，右焦点分别为1F、2F，A是双曲线C的左顶点，以1F、2F为为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且3π4PAQ，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．5【答案】D【分析】根据题意易得圆与渐近线的方程，联立即可求得,PQ的坐标，结合图像易得2π4PAF，利用斜率公式即可求得2ba，从而可求得双曲线C的离心率.【详解】依题意，易得以12FF为直径的圆的方程为222xyc，设00,Pxy，则00,Qxy，又由双曲线2222:1xyCab易得双曲线C的渐近线为byxa，如图，联立222byxaxyc，解得xayb或xayb，∴,Pab，,Qab，又∵,0Aa，∴AQx轴，∴由3π4PAQ得2π4PAF，∴20tan1PAbPAFkaa，∴2ba，即22224caba，∴225ca，∴5cea.故选：D.线2222:10xyCabab的左、右焦点，过左焦点1F的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于,AB两点，若22::12:5:13ABBFAF，则双曲线的离心率为（）A．52B．2C．62D．102【答案】D【分析】根据长度关系可得2ABBF，利用双曲线定义可用a表示出12,BFBF，利用勾股定理可构造关于,ac的齐次方程求得离心率.【详解】设12ABt，则25BFt，213AFt，22222ABBFAF，2ABBF；由双曲线定义可知：211132AFAFtAFa，1132AFta，1212172022BFBFAFABBFAFttaa，15ta，11312355BFAFABaaa，2BFa，2221212BFBFFF，22294aac，则22101042cea.故选：D.4．已知双曲线22221xyab的左焦点为1F，过1F作一倾斜角为15的直线交双曲线右支于P点，且满足1POFV（O为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e为（）A．3eB．2eC．2eD．212e【答案】C【分析】由题意得出212230POFPFF，写出直线OP的方程，与双曲线方程联立，求出P点坐标，利用OPc，即可求出结果．【详解】解：记右焦点为2F，由题意知，1215PFF，且1POFV为等腰三角形，则只能是1OFOP，所以212230POFPFF，OPc，所以直线OP的方程为33yx，由2222331yxxyab，得2222222222333PPabxbaabyba所以222222222333ababcbaba，整理，得42243840caca，即423840ee，解得22e或23（舍去），所以2e．故选：C．5．已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为(23,0)F，过F和0,2Pb两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（）A．22193xyB．22139xyC．23184xyD．22148xy【答案】B【分析】由双曲线22221xyab可得其渐近线为byxa，再求得直线PF的斜率，由平行得到斜率相等即可求得3a，再由焦点坐标(23,0)F得23c，从而求得29b，则该双曲线的方程可求.【详解】因为双曲线22221xyab，所以它的渐近线为byxa，又因为(23,0)F，0,2Pb，所以直线PF的斜率为200233PFbbk，因为直线PF与双曲线的一条渐近线平行，所以3bba，故3a，又因为双曲线的右焦点为(23,0)F，所以23c，故2221239bca，所以该双曲线的方程为22139xy.故选：B.6．“m2”是“方程22121xymm表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】方程22121xymm表示双曲线等价于210mm，求解判断即可【详解】方程22121xymm表示双曲线等价于210mm，即1m或m2，故“m2”是“方程22121xymm表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A7．已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2，P是双曲线上一点，1PFx轴，则112PFFF的值为（）A．34B．45C．56D．23【答案】A【分析】由离心率可得2ca，再根据222abc可得3ba，即可整理双曲线方程为222213xyaa，代入xc可求P的坐标，即可求得答案【详解】由题意可得2cea即2ca，由22224abca可得223ba即3ba，所以双曲线方程为222213xyaa，当xc时，解得3ya，所以13PFa，因为1224FFca，所以11234PFFF，故选：A8．已知双曲线2222:193xyCmm的焦点在y轴上，则C的离心率的取值范围为（）A．1,2B．1,3C．41,3D．231,3【答案】A【分析】由题知223090mm，再解不等式，结合离心力公式求解即可.【详解】解：因为双曲线2222:193xyCmm的焦点在y轴上，所以，223090mm，解得29m．因为2222121,43ceam，所以1,2e．故选：A二、填空题9．如图所示,已知双曲线C:222210,0xyabab的右焦点为F,双曲线C的右支上一点A,它关于原点O的对称点为B,满足120AFB,且3BFAF,则双曲线C的离心率是______.【答案】72【分析】连接左焦点，得到平行四边形，通过余弦定理列方程即可解出.【详解】设双曲线的左焦点为F,连接AF,BF,根据双曲线的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，由题意以及双曲线定义，可得32BFAFAFAFAFAFa,则AFa,3BFa,60FAF,所以2222cosFFAFAFAFAFFAF,即222214962caaa,即2247ca,所以双曲线C的离心率为:72cea.故答案为：72.10．在平面直角坐标系xOy中，已知1F，2F为双曲线2222:1xyCab的左､右焦点，1A，2A为C的左､右顶点，C的离心率等于2，P为C左支上一点，若PO平分12APF，直线1PF与1PA的斜率分别为1k，2k，且1210kkk，则1k等于___________.【答案】15【分析】根据结合直线1PF与1PA的斜率分别为1k，2k的斜率关系，角平分线定理以及双曲线的定义，可得214,2PFaPFa，又由离心率得2ca，又在焦点三角形12PFF△中用余弦定理得直线倾斜角的余弦值，从而可得直线1PF的斜率1k的值.【详解】解：由题意得下图：则1(,0)Fc，2(,0)Fc，1(,0)Aa，2(,0)Aa，双曲线的离心率2cea，所以2ca，则1224FFca又直线1PF与1PA的斜率分别为1k，2k，且1210kkk，且P在第二象限所以1111PFAPAF，则11PFPA，因为PO平分12APF，由角平分线定理得：1212PAPFAOFO，结合11PFPA，即可得12PFPFac，所以212PFPF又在双曲线中有212PFPFa，所以214,2PFaPFa则在12PFF△中，222222112212112416161cos22244PFFFPFaaaPFFPFFFaa由题意10k，可得12PFF为锐角，所以2121215sin1cos4PFFPFF则1211212sintan15cosPFFkPFFPFF.故答案为：15.11．已知双曲线22:14xyCm与直线2yx无交点，则m的取值范围是_____．【答案】0,16【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线2yx应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式22m，解之即可求得m的取值范围.【详解】依题意，由22:14xyCm可得0m，双曲线C的渐近线方程为2myx，因为双曲线C与直线2yx无交点，所以直线2yx应在两条渐近线上下两部分之间，故22m，解得016m，即0,16m.故答案为：0,16..三、解答题12．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，离心率为53，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆22159xy的焦点为顶点，顶点为焦点.【答案】(1)221916xy(2)22145yx【分析】（1）根据已知条件求得,ab，从而求得双曲线的标准方程.（2）根据椭圆22159xy的焦点和顶点，求得双曲线的22,ab，从而求得双曲线的标准方程.【详解】（1）设双曲线的方程为222210,0xyabab.由53ca，26a，得5c，22216bca，4b，所以双曲线的方程为221916xy.（2）由题意可知，双曲线的焦点在y轴上.设双曲线的方程为222210,0yxabab，则29c，2954a，2225bca，所以双曲线的方程为22145yx.一、单选题1．已知12,FF分别为双曲线22:1412xyC的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过2F的直线与双曲线C的右支交于,AB两点（其中点A在第一象限），设,MN分别为1212,AFFBFF的内心，则MENE的取值范围是（）A．4343,,33B．4343,33C．3333,55D．55,33【答案】B【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有22,22EFMEFN，将MENE表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AFAFFF上的切点分别为H､I､J，则1122||||,,AHAIFHFJFJFI.由122AFAFa，得12||||2AHHFAIIFa，∴122HFIFa，即122JFJFa.设内心M的横坐标为0x，由JMx轴得点J的横坐标也为0x，则002cxcxa，得0xa，则E为直线JM与x轴的交点，即J与E重合.同理可得12BFF△的内心在直线J