第03讲抛物线(练)一、单选题1.已知抛物线220ypxp的焦点为F,若抛物线上的点1,m与点F间的距离为3,则m().A.22B.4C.22或22D.4或4【答案】C【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线220ypxp开口向左,依题意,抛物线上的点1,m与点F间的距离为3,所以13,42pp,抛物线方程为28yx,令=1x,得28m,解得22m,故选:C2.已知函数抛物线2:4Cxy的焦点为F,准线为l,点P在抛物线C上,直线PF交x轴于点Q,若3PFFQ,则点P到焦点F的距离为()A.5B.3C.4D.6【答案】A【分析】过点P作x轴的垂线,可知OFPN∥,由此结合3PFFQ可得||||1||||4FQFOPQPN,求得||4PN,即可求得答案.【详解】如图,不妨设点P在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为N,则OFPN∥,由题意知,(01)F,,即1OF,因为3PFFQ,所以||||1||||4FQFOPQPN,故||4PN,所以点P到准线的距离为15PN,即点P到焦点F的距离为5,故选:A.3.已知抛物线C的焦点为F,准线为l,过F的直线m与C交于A,B两点,点A在l上的投影为D.若ABBD,则ABAF()A.32B.2C.52D.3【答案】A【分析】过点B作BEl,垂足为点E,作BHAD,垂足为点H,分析出点H为AD的中点,利用抛物线的定义可求得结果.【详解】过点B作BEl,垂足为点E,作BHAD,垂足为点H,ADl,所以,四边形BEDH为矩形,所以,BEDH,因为ABBD,所以,DHAH,故22ADDHBE,由抛物线的定义可得AFAD,BFBE,所以,2AFBF,即32ABAF.故选:A.4.过点(0,1)P作直线与抛物线24yx相交,恰好有一个交点,则符合条件的直线的条数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】作图分析,根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系,可得答案.【详解】如图示,过点(0,1)P作直线与抛物线24yx相交,恰好有一个交点,符合条件的直线有三条,其中两条是与抛物线相切的直线,其中包含y轴,另一条是与抛物线对称轴平行的直线,故选:D5.点P是抛物线24yx上一动点,则点P到点(0,1)的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是()A.0B.22C.1D.2【答案】D【分析】根据抛物线的性质进行求解即可.【详解】由24yx可知该抛物线的焦点坐标为(1,0)F,设(0,1)A,准线方程为:l=1x,设PBl,垂足为B,因为点P是抛物线24yx上一动点,所以点P到抛物线准线的距离等于PF,当,,APF三点在同一条直线上时,点P到点(0,1)的距离与到抛物线准线的距离之和最小,最小值为22(10)(01)2AF,故选:D6.已知,AB均为抛物线2:20Cxpyp上的点,F为C的焦点,且37AFFBuuuruur,则直线AB的斜率为()A.22121B.259C.55D.1010【答案】A【分析】当直线AB的斜率大于0时,过,AB作准线的垂线,作BGAD,根据37AFFBuuuruur,设73AFxBFx,,推出||AG,||BG的值,计算tanABkABG,同理计算当直线AB的斜率小于0时的ABk,即得答案.【详解】当直线AB的斜率大于0时,如图,过,AB作准线l的垂线,垂足分别为,DE,过B作,BGADG为垂足,因为37AFFBuuuruur,所以可设73AFxBFx,,因为,AB均在C上,所以||||3,||||||,47ADAFBFBExAGADxBEx,||=10ABx,故22||(10)(4)221BGxxx,则4221tan21221ABAGxkABGBGx,当直线AB的斜率小于0时,同理可得22121ABk,故直线AB的斜率为22121,故选:A.7.已知抛物线2:4Cyx的焦点为F,直线l过焦点F与C交于A,B两点,以AB为直径的圆与y轴交于D,E两点,且4||||5DEAB,则直线l的方程为()A.310xyB.10xyC.220xyD.210xy【答案】C【分析】设||2(24),ABrrAB的中点为M,根据4||||5DEAB求出r,进而得到M点横坐标;再设直线1122:(1),,,,lykxAxyBxy,由韦达定理得到k与M横坐标的关系,进而求出k.【详解】设||2(24),ABrrAB的中点为M,MNy轴于点N,过A,B作准线=1x的垂线,垂足分别为11,AB,如下图:由抛物线的定义知112(||1)||||||2MNAABBAFBFABr,故||1MNr,所以228||2(1)5DErrr,即21650250rr,解得52r或58r(舍去),故M的横坐标为32,设直线1122:(1),,,,lykxAxyBxy,将(1)ykx代入24yx,得2222240kxkxk,则2122243kxxk,解得2k,故直线l的方程为220xy.故选:C.8.已知抛物线2:4Cyx的焦点为,FN为C上一点,且N在第一象限,直线FN与C的准线交于点M,过点M且与x轴平行的直线与C交于点P,若||2||MNNF,则MPF△的面积为()A.8B.12C.43D.46【答案】C【分析】过N作准线的垂线,垂足为Q,准线与x轴交于点E,进而根据几何关系得MPF△为等边三角形,34MFNF,再计算面积即可.【详解】解:如图,过N作准线的垂线,垂足为Q,准线与x轴交于点E,所以,NFNQ,2EF.因为MQNMEF△△∽,所以23QNMNMQEFMFME,43QNNF,34MFNF.所以1cos2EFMFEMF,60MFEPMF.又因为PMPF,所以60PFMPMF,所以MPF△为等边三角形,所以23434MPFSMF△.若M在第三象限,结果相同.故选:C二、填空题9.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为________.【答案】2【分析】结合图像,可知1112AABBMM=且|AB|≤|AF|+|BF|,由此可得|MM1|≥3,进而可求得AB的中点到x轴的最短距离为2.【详解】由题意知,抛物线的准线l:1y,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,如图,设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则1112AABBMM=,因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,又11,AFAABFBB,所以|AA1|+|BB1|≥6,即2|MM1|≥6,故|MM1|≥3,所以点M到x轴的距离112MMd,故最短距离为2.故答案为:2.10.抛物线26yx的准线恰好平分圆22:10Cxyaxay的周长,则a______.【答案】3【分析】根据抛物线的准线经过圆的圆心求得a.【详解】抛物线26yx的准线为32x,圆22:10Cxyaxay,则圆心坐标为1,22aa,所以322a,解得3a.故答案为:311.已知抛物线C:22(0)ypxp的焦点为F,准线为l,以F为圆心作圆与C交于A,B两点,与l交于D、E两点,若43ABDE,则F到l的距离为________.【答案】2【分析】根据题意分析求出点A的坐标,代入抛物线的方程求p,即可得出F到l的距离.【详解】设,ABDE与x轴的交点分别为,MN,则FMFNp,即点3,232Ap,∴232322pp,解得2p或2p(舍去),故F到l的距离为2.故答案为:2.三、解答题12.已知抛物线C:22(0)ypxp与直线2yx相切.(1)求C的方程;(2)过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,AB的中垂线与C的准线交于点P,若32PAAB,求l的方程.【答案】(1)28yx(2)20xy或20xy【分析】(1)联立方程利用0运算求解;(2)分析可得MNMA,设l的方程为2xmy,联立方程结合韦达定理运算求解.【详解】(1)联立方程222yxypx,消去x得2240ypyp,∵抛物线C与直线2yx相切,则22440pp,解得4p或0p(舍去)故抛物线的方程C:28yx.(2)设l的方程为11222,,,,xmyAxyBxy,则线段AB的中点1212,22xxyyM,过M作抛物线的准线2x的垂线,垂足为N,则12124,22xxABxxMN,即22ABMNMA,∵32PAAB,则2PMMA,即2PMMN,∴PNMN,联立方程228xmyyx,消去x得28160ymy,21264640,8myym,则242,4,2,4MmmNm,AB的中垂线的方程为3460mxymm,∴32,48Pmm,则3244,44PNmmMNm,即324444mmm,解得1m,故l的方程为20xy或20xy.一、单选题1.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2ryx:,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点41,116P射入,经过r上的点A(x1,y1)反射后,再经r上另一点B(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,经过点Q,则下列结论错误的是()A.y1y2=-1B.25 16ABC.PB平分∠ABQD.延长AO交直线x=-14于点C,则C,B,Q三点共线【答案】A【分析】对于A,利用1//lx轴可得A点纵坐标,进而求得1,1A,从而求得直线AB的方程,联立抛物线方程,由韦达定理可求得1214yy;对于B,结合A中结论易得214y,从而求得11,164B,再由两点距离公式即可求得25 16AB;对于C,先求2516APAB,得到∠ABP=∠APB,再由平行线内错角相等得到∠PBQ=∠APB,从而可知PB平分∠ABQ;对于D,联立方程求得11,44C,由纵坐标相等可知C,B,Q三点共线.【详解】对于A,设抛物线的焦点为F,则1,04F,因为41,116P,且1//lx轴,所以A的纵坐标为1y,代入抛物线2ryx:得1x,故1,1A,故直线AF(即直线AB)为101414114343314yxxx,联立24133yxyx,消去x,得231044yy,故1214yy,故A错误;对于B,又y1=1,故214y,故11,164B,故221125 1116416AB,故B正确;对于C,因为412511616APAB,故APB△为等腰三角形,故∠ABP=∠APB,而12ll//,故∠PBQ=∠APB,即∠ABP=∠PBQ,故PB平分∠ABQ,故C正确;对于D,易得直线AO为y=x,联立14yxx,解得1414xy,故11,44C,故2Cyy,所以C,B,Q三点共线,故D正确.故选:A..2.已知F为抛物线2yx的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,6OAOB(其中O为坐标原点),则ABO△与AFO面积之和的最小值是()