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第6节古典概型与几何概型考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义.1.古典概型(1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的.②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.(2)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(3)古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.2.几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.(2)几何概型的两个基本特点(3)几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.1.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.2.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(4)概率为0的事件一定是不可能事件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确.2.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()A.一定不会淋雨B.淋雨的可能性为34C.淋雨的可能性为12D.淋雨的可能性为14答案D解析基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.3.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.15B.25C.12D.45答案A解析从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为210＝15.故选A.4.(2021·安徽四校测试)如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正三角形中随机撒一粒豆子(豆子大小忽略不计)，它落在阴影区域内的概率为34，那么估计阴影区域的面积为()A.3B.23C.33D.43答案C解析设阴影区域的面积为S，根据几何概型的概率公式知S＝34×42×34＝33，故选C.5.(2022·长春质量监测)张老师居住的一条街上，行驶着甲、乙两路公交车，这两路公交车的数目相同，并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6：00到6：10之间到达车站乘车到学校，这两条公交线路对他是一样的，都可以达到学校，甲路公交车的到站时间是6：09，6：19，6：29，6：39，…，乙路公交车的到站时间是6：00，6：10，6：20，6：30，…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是()A.10%B.50%C.60%D.90%答案D解析张老师在早晨6：00到6：10之间到达车站是等可能的，故张老师在早晨6：00到6：09到达车站的概率为910＝90%，故有90%的可能乘坐上甲路公交车.6.(易错题)将一段长为3米的木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于1米的概率为________.答案13解析根据题意，只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，故所求的概率为13.考点一古典概型的简单计算1.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12答案D解析设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.2.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15答案B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.3.(2022·大同调研)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为________.答案16解析不妨记齐王的上等马、中等马、下等马分别为A1，A2，A3，田忌的上等马、中等马、下等马分别为B1，B2，B3，则所有可能的情况为A1A2A3B1B2B3A1A2A3B1B3B2A1A2A3B2B1B3A1A2A3B2B3B1A1A2A3B3B2B1A1A2A3B3B1B2田忌获胜的情况只有一种，即最后一种，所以田忌获胜的概率为16.感悟提升古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.考点二古典概型与其他知识的简单交汇例1若m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆x2m＋y22＝1的焦距为整数的概率为________.答案12解析∵m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，∴基本事件总数为6，又满足椭圆x2m＋y22＝1的焦距为整数的m的取值有1，3，11，共有3个，∴椭圆x2m＋y22＝1的焦距为整数的概率p＝36＝12.感悟提升求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定基本事件个数；(4)代入古典概型的概率公式求解.训练1设平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为()A.18B.14C.13D.12答案A解析有序数对(m，n)的所有可能情况为4×4＝16个，由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P(A)＝216＝18.考点三几何概型角度1与长度(角度)有关的几何概型例2(1)在[－6，9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于()A.215B.715C.35D.1115(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM＜AC的概率为________.答案(1)D(2)34解析(1)因为f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，所以Δ＝m2＋4m≥0，所以m≤－4或m≥0，所以在[－6，9]内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率p＝[－4－（－6）]＋（9－0）9－（－6）＝1115.(2)过点C作CN交AB于点N，使AN＝AC，如图所示.显然当射线CM处在∠ACN内时，AM＜AC，又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率为p＝67.5°90°＝34.感悟提升1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.2.当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.角度2与面积有关的几何概型例3(1)(2022·河南名校联考)来自中国古代的木纹饰图如图.若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是()A.136B.19C.16D.29(2)(2021·全国乙卷)在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为()A.79B.2332C.932D.29答案(1)D(2)B解析(1)因为大正方形的面积为6×6＝36，小正方形的面积为1×1＝1，大正方形内部有8个小正方形，故在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是8×136＝29.故选D.(2)在区间(0，1)中随机取一个数，记为x，在区间(1，2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于74，即x＋y74，则0x1，1y2，x＋y74.在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于74”即x＋y74中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝1－342×121×1＝2332，故选B.感悟提升几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率.角度3与体积有关的几何概型例4已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC＜12VS－ABC的概率是()A.34B.78C.12D.14答案B解析由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，则满足VP－ABC12VS－ABC，故VP－ABC12VS－ABC的概率p＝大三棱锥的体积－小三棱锥的体积大三棱锥的体积＝78.感悟提升对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及构成事件的区域的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.训练2(1)(2022·延安一模)在区间[－1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为()A.12B.13C.24D.23(2)中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的近似值为()A.14（1－p）B.11－pC.11－4pD.41－p(3)有一