第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第2节　函数的单调性与最值

第2节函数的单调性与最值考试要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.2.函数y＝f(x)(f(x)0或f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.3.“对勾函数”y＝x＋ax(a0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间为[－a，0)，(0，a].1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()答案(1)√(2)×(3)×(4)×解析(2)此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞).2.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－xB.y＝x2－xC.y＝lnx－xD.y＝ex答案A解析易知A中y＝1x－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C中函数y＝x2－x与y＝lnx－x在(0，＋∞)内不单调；D中y＝ex在(0，＋∞)内是增函数.3.(易错题)(2021·长沙检测)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－80，得x4或x－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求t＝x2－2x－8的单调递增区间.∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).4.(2020·新高考海南卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A.(－∞，－1]B.(－∞，2]C.[2，＋∞)D.[5，＋∞)答案D解析由x2－4x－50，得x－1或x5.令t＝x2－4x－5，则函数t＝x2－4x－5在(－∞，－1)单调递减，在(5，＋∞)单调递增，函数y＝lgt为增函数，故要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则有(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，即a≥5.5.函数y＝xx－1在区间[2，3]上的最大值是________.答案2解析函数y＝xx－1＝1＋1x－1在[2，3]上递减，当x＝2时，y＝xx－1取得最大值22－1＝2.6.(易错题)函数f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，若f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________.答案[－1，1)解析由题意，得－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋12a，∴－1≤a1.考点一确定函数的单调性角度1求函数的单调区间例1(1)函数y＝log12(－x2＋x＋6)的单调递增区间为()A.12，3B.－2，12C.(－2，3)D.12，＋∞(2)函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________.答案(1)A(2)(－∞，－1]和[0，1](－1，0)和(1，＋∞)解析(1)由－x2＋x＋60，得－2x3，故函数的定义域为(－2，3).令t＝－x2＋x＋6，则y＝log12t，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为12，3，故选A.(2)由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0，即y＝－（x－1）2＋2，x≥0，－（x＋1）2＋2，x0，画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞).角度2判断或证明函数的单调性例2试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性.解法一设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝a（x2－x1）（x1－1）（x2－1）.由于－1x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，故当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.法二f′(x)＝（ax）′（x－1）－ax（x－1）′（x－1）2＝a（x－1）－ax（x－1）2＝－a（x－1）2.当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.感悟提升确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断.(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.训练1(1)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________.答案[1，2]解析f(x)＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x2.画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是[1，2].(2)已知a0，函数f(x)＝x＋ax(x0)，证明：函数f(x)在(0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.证明法一(定义法)设x1x20，f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2－ax2＝(x1－x2)＋a（x2－x1）x1x2＝（x1－x2）（x1x2－a）x1x2，∵x1x20，∴x1－x20，x1x20，当x1，x2∈(0，a]时，0x1x2a，∴x1x2－a0，∴f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0，a]上单调递减；当x1，x2∈[a，＋∞)时，x1x2a，∴x1x2－a0，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在[a，＋∞)上单调递增.法二(导数法)f′(x)＝1－ax2＝x2－ax2(x0)，令f′(x)0⇒x2－a0⇒xa，令f′(x)0⇒x2－a0⇒0xa，∴f(x)在(0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.考点二函数单调性的应用角度1比较大小例3(2021·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝x－2－x，设a＝f(－31.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(log30.2)，则()A.cbaB.abcC.cabD.acb答案D解析由f(－x)－f(x)＝0，知f(x)是偶函数，易知f(x)＝x－2－x在[0，＋∞)上单调递增.因为a＝f(－31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝flog315＝f(－log35)＝f(log35)，且31.23，1＝log33log35log327＝3，03－0.21，即31.2log353－0.20，所以f(31.2)f(log35)f(3－0.2)，即acb.角度2求最值例4函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.答案3解析由于y＝13x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.角度3解不等式例5(1)已知函数f(x)＝12x＋4，x≤0，－x3－x＋5，x0，当x∈[m，m＋1]时，不等式f(2m－x)f(x＋m)恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－∞，－4)B.(－∞，－2)C.(－2，2)D.(－∞，0)(2)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)2，则实数x的取值范围是________.答案(1)B(2)(－5，－2)∪(2，5)解析(1)依题意得，f(x)＝12x＋4，x≤0，－x3－x＋5，x0在x∈(－∞，＋∞)上单调递减.因为f(2m－x)f(x＋m)，所以2m－xx＋m，即2xm在x∈[m，m＋1]时恒成立，所以2(m＋1)m，即m－2.(2)因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)2得f(x2－4)f(1)，所以0x2－41，解得－5x－2或2x5.角度4求参数的值或取值范围例6(1)(2022·东北三省六校联考)已知函数f(x)＝22－x，x2，34x2－3x＋4，x≥2，若不等式a≤f(x)≤b的解集恰好为[a，b]，则b－a＝________.(2)如果函数f(x)＝（2－a）x＋1，x1，ax，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x20成立，那么实数a的取值范围是()A.(0，2)B.(1，2)C.(1，＋∞)D.32，2答案(1)4(2)D解析(1)易知f(x)在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增，且x2时，22－x22－2＝1，∴f(x)min＝f(2)＝1.又a≤f(x)≤b的解集恰好为[a，b]，∴必然有a≤1，此时22－1＝2，所以b≥2.依题设，34b2－3b＋4＝b，解得b＝4或b＝43(舍).令22－x＝4，得x＝0，所以a＝0，于是b－a＝4.(2)因为对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x20，所以y＝f(x)在R上是增函数，所以2－a0，a1，（2－a）×1＋1≤a，解得32≤a2.故实数a的取值范围是32，2.感悟提升1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于