第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第1节　函数及其表示

第1节函数及其表示考试要求1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).1.函数与映射的概念函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1交点.3.注意以下几个特殊函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tanx的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.(3)错误.f(x)＝x－3＋2－x中x不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.2.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案B解析A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].3.(2021·贵阳诊断)已知函数f(x)＝3x（x≤0），log3x（x0），则ff12＝()A.－1B.2C.3D.12答案D解析∵f12＝log3120，∴ff12＝flog312＝3(log312)＝12.4.(2020·北京卷)函数f(x)＝1x＋1＋lnx的定义域是__________.答案(0，＋∞)解析要使函数有意义，需满足x＋1≠0，x＞0，所以函数的定义域为(0，＋∞).5.(易错题)已知f(x)＝x－1，则f(x)＝________.答案x2－1(x≥0)解析令t＝x≥0，∴x＝t2，∴f(t)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥0).6.已知函数f(x)＝x2＋2，x≤1，1x，x1，则f(x)的值域为________.答案(0，1)∪[2，＋∞)解析当x≤1时，f(x)＝x2＋2，∴f(x)∈[2，＋∞)，当x1时，f(x)＝1x，∴f(x)∈(0，1).综上，f(x)的值域为(0，1)∪[2，＋∞).考点一函数的定义域1.函数y＝1－x2＋log2(tanx－1)的定义域是________.答案π4，1解析要使函数y＝1－x2＋log2(tanx－1)有意义，则1－x2≥0，tanx－10，且x≠kπ＋π2(k∈Z)，∴－1≤x≤1且π4＋kπxkπ＋π2，k∈Z，解得π4x≤1，则函数的定义域为π4，1.2.函数f(x)＝12－x＋ln(x＋1)的定义域为()A.(2，＋∞)B.(－1，2)∪(2，＋∞)C.(－1，2)D.(－1，2]答案C解析由题意，得2－x0，x＋10，∴－1x2.3.(2021·西安检测)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝f（2x＋1）x＋2的定义域是()A.(－∞，－2)∪(－2，3]B.(－8，－2)∪(－2，1]C.－92，－2∪(－2，0]D.－92，－2答案C解析∵f(x)的定义域为[－8，1]，∴－8≤2x＋1≤1，x＋2≠0，解得－92≤x≤0，且x≠－2.∴g(x)的定义域为－92，－2∪(－2，0].4.已知函数f(2x－1)的定义域为[0，1]，则f（2x＋1）log2（x＋1）的定义域是()A.(－1，0)B.(－1，0]C.[－1，0)D.[－1，0]答案A解析由题意0≤x≤1，∴－1≤2x－1≤1，∴－1≤2x＋1≤1，x＋10，x＋1≠1，解得－1x0.感悟提升1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.考点二求函数解析式例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t.∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)∵fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴a＝2，5a＋b＝17，解得a＝2，b＝7，∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(构造法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①×2－②，得f(x)＝3x.感悟提升求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.(4)构造法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).训练1(1)已知f2x＋1＝lgx，则f(x)＝________；(2)(2021·黄冈检测)已知fx2＋1x2＝x4＋1x4，则f(x)＝________.(3)(2022·唐山模拟)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.答案(1)lg2x－1(x1)(2)x2－2，x∈[2，＋∞)(3)12x2－32x＋2解析(1)(换元法)令t＝2x＋1(t1)，则x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x1).(2)(配凑法)∵fx2＋1x2＝x2＋1x22－2，∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞).(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且f(0)＝c＝2，∴f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝x－1，∴2a＝1，a＋b＝－1，∴a＝12，b＝－32，∴f(x)＝12x2－32x＋2.考点三分段函数角度1分段函数的求值例2(1)已知函数f(x)＝2－x，x≥－1，log2（1－x），x－1，则f(0)－f(－3)＝________.(2)设函数f(x)＝ax，x≥0，f（x＋4a），x0(a0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2023)＝________.答案(1)－1(2)2解析(1)∵f(0)＝2－0＝1，f(－3)＝log2(1＋3)＝2，∴f(0)－f(－3)＝－1.(2)∵f(2)＝a2＝4，∴a＝2.又f(x)＝f(x＋8)(x0)，∴f(－2023)＝f(－253×8＋1)＝f(1)＝2.角度2分段函数与方程例3(1)(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝x2－4，x2，|x－3|＋a，x≤2.若f(f(6))＝3，则a＝________.(2)(2022·长沙质检)已知函数f(x)＝log2（3－x），x≤0，2x－1，x0，若f(a－1)＝12，则实数a＝________.答案(1)2(2)log23解析(1)因为62，所以f(6)＝6－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.(2)由题意，若a－1≤0，即a≤1，则log2(3－a＋1)＝12，则a＝4－21，不符合题意；若a－10，即a1，则2a－1－1＝12，则a＝log231成立.角度3分段函数与不等式例4(2021·合肥模拟)已知函数f(x)＝log2x，x1，x2－1，x≤1，则f(x)f(x＋1)的解集为()A.(－1，＋∞)B.(－1，1)C.－12，＋∞D.－12，1答案C解析当x≤0时，x＋1≤1，f(x)f(x＋1)，等价于x2－1(x＋1)2－1，解得－12x≤0；当0x≤1时，x＋11，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)0，∴0x≤1时，恒有f(x)f(x＋1)；当x1时，f(x)f(x＋1)⇔log2xlog2(x＋1)恒成立，综上知，不等式f(x)f(x＋1)的解集为－12，＋∞.感悟提升1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.3.对于分段函数的不等式问题要分段解决.训练2(1)函数f(x)＝ex－3，x1，lnx，x≥1，则关于函数f(x)的说法不正确的是()A.定义域为RB.值域为(－3，＋∞)C.在R上为增函数D.只有一个零点(2)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝2x－1，x0，ax＋1，x≤0，若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为()A.[－2，1]B.[－3，3]C.[－2，2]D.[－2，3]答案(1)B(2)