第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第4节　幂函数与二次函数

第4节幂函数与二次函数考试要求1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a0)y＝ax2＋bx＋c(a0)图象(抛物线)定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在－∞，－b2a上是减函数；在－b2a，＋∞上是增函数在－∞，－b2a上是增函数；在－b2a，＋∞上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a0，Δ0时，恒有f(x)0；当a0，Δ0时，恒有f(x)0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x13是幂函数.()(2)当α0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x13不是幂函数，(1)错误.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a不在给定定义域内时，最值不是4ac－b24a，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A.f(x)＝－xB.f(x)＝23xC.f(x)＝x2D.f(x)＝3x答案D解析取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝32，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意.故选D.3.(易错题)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________.答案－∞，－16解析当m＝0时，函数在给定区间上是增函数；当m≠0时，二次函数的对称轴为直线x＝－12m，依题意知m0，－12m≤3，∴m≤－16.4.(易错题)已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)f(10－2a)，则a的取值范围是________.答案(3，5)解析∵幂函数f(x)＝x－12在定义域(0，＋∞)上单调递减，∴由f(a＋1)f(10－2a)，得a＋10，10－2a0，a＋110－2a，∴3a5.5.(2018·上海卷)已知α∈－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.答案－1解析由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α0，取α＝－1.6.已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4，0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为________.答案22解析f(x)＝－2x2＋mx＋3＝－2x－m42＋m28＋3，∵0≤m≤4，∴0≤m4≤1，∴当x＝m4时，f(x)取得最大值，∴m28＋3＝4，解得m＝22.考点一幂函数的图象和性质1.若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是()答案C解析设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确.2.若幂函数f(x)＝(2b－1)xa2－10a＋23(a，b∈Z)为偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则a，b的值分别为()A.2，1B.4，1C.5，1D.6，1答案C解析由幂函数的定义得2b－1＝1，∴b＝1.又∵a2－10a＋23＝(a－5)2－2，函数f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，∴(a－5)2－20，故a＝4，5，6.又(a－5)2－2为偶数，∴a＝5.3.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.acb答案D解析由幂函数的图象和单调性可知a0，b1，0c1，∴acb.4.(2021·郑州质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________.答案2解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2.5.若(a＋1)－13(3－2a)－13，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，－1)∪23，32解析不等式(a＋1)－13(3－2a)－13等价于a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a，解得a－1或23a32.感悟提升1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α0，0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.考点二二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解法一(利用“一般式”)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用“顶点式”)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12，所以m＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－（－a）24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.感悟提升求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：训练1(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.答案(1)x2＋2x＋1(2)x2－4x＋3解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2a＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象和性质角度1二次函数的图象例2(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示.则下列结论正确的是______(填序号).①b24ac；②c0；③ac0；④b0；⑤a－b＋c0.(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a0)，若f(m)0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)0D.f(m＋1)0答案(1)①②⑤(2)C解析(1)由题图知，a0，－b2a0，c0，∴b0，ac0，故②正确，③④错误.又函数图象与x轴有两交点，∴Δ＝b2－4ac0，故①正确；又由题图知f(－1)0，即a－b＋c0，故⑤正确.(2)因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a0，所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)0，得－1m0，所以m＋10－12，所以f(m＋1)f(0)0.角度2二次函数的单调性与最值例3(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A.[－3，0)B.(－∞，－3]C.[－2，0]D.[－3，0]答案D解析当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝3－a2a，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知a0，3－a2a≤－1，解得－3≤a0.综上，a的取值范围为[－3，0].(2)(2021·西安模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.解①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当a0时，f(x)＝ax2－2x图象开口方向向上，且对称轴为x＝1a.(ⅰ)当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增.∴f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a.(ⅱ)当1a1，即0a1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.③当a0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝1a0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝a－2，a1，－1a，a≥1.感悟提升1.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区