第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第3节　函数的奇偶性与周期性

第3节函数的奇偶性与周期性考试要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()(4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点a＋b2，0对称.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.2.下列函数中为偶函数的是()A.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝|lnx|D.y＝2－x答案B解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1－x1＋x，则下列函数中为奇函数的是()A.f(x－1)－1B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1D.f(x＋1)＋1答案B解析因为f(x)＝1－x1＋x，所以f(x－1)＝1－（x－1）1＋（x－1）＝2－xx，f(x＋1)＝1－（x＋1）1＋（x＋1）＝－xx＋2.对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝2－xx－1＝2－2xx，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故不是奇函数；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝2－xx＋1＝2x，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－xx＋2－1＝－x－x－2x＋2＝－2x＋2x＋2，定义域不关于原点对称，故不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝－xx＋2＋1＝－x＋x＋2x＋2＝2x＋2，定义域不关于原点对称，故不是奇函数.4.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f－13＝13，则f53＝()A.－53B.－13C.13D.53答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f53＝f53－2＝f－13＝13.5.(易错题)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x－3，则函数f(x)的解析式为___________________.答案f(x)＝x－3，x0，0，x＝0，x＋3，x0解析设x0，则－x0，∴f(－x)＝－x－3.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝x＋3.又f(0)＝0，∴f(x)＝x－3，x0，0，x＝0，x＋3，x0.6.(2022·西安质检)已知f(x)＝ex＋eax是偶函数，则f(x)的最小值为________.答案2解析∵f(x)＝ex＋eax是偶函数，∴f(1)＝f(－1)，得e＋ea＝e－1＋e－a，则a＝－1，经检验，a＝－1时，符合题意.所以f(x)＝ex＋e－x≥2ex·e－x＝2，当且仅当x＝0时取等号.故函数f(x)的最小值为2.考点一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；(2)f(x)＝x2＋x，x0，x2－x，x0；(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1)；(4)f(x)＝lg（1－x2）|x－2|－2＋x.解(1)由1－x2≥0，x2－1≥0得x2＝1，即x＝±1，即函数f(x)的定义域为{－1，1}，从而f(x)＝1－x2＋x2－1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称.∵x0时，－x0，∴f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；∵x0时，－x0，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝f(x).综上，f(x)为偶函数.(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2(－x＋（－x）2＋1)＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.(4)由1－x20，|x－2|≠2得－1x1，x≠0且x≠4，∴原函数的定义域为{x|－1x1且x≠0}，关于原点对称.∵f(x)＝lg（1－x2）|x－2|－2＋x＝lg（1－x2）2－x－2＋x＝lg（1－x2）－x＋x，∴f(－x)＝lg（1－x2）x－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.感悟提升判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.训练1(1)(2021·百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y＝ex－1ex＋1D.y＝xln(x2＋1－x)(2)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，有f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是偶函数D.f(|x|)g(x)是奇函数答案(1)B(2)C解析(1)A中，y＝xsinx为偶函数.B中，函数y＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数.C中，f(－x)＝e－x－1e－x＋1＝1－ex1＋ex＝－f(x)，则y＝ex－1ex＋1为奇函数.D中，函数的定义域为R，关于原点对称.又f(－x)＝－xln(x2＋1＋x)＝－xln1x2＋1－x＝f(x)，所以y＝xln(x2＋1－x)为偶函数.(2)令F1(x)＝f(x)g(x)，∴F1(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F1(x)，∴F1(x)为奇函数，故A错误；令F2(x)＝|f(x)g(x)|，∴F2(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误；令F3(x)＝|f(x)|g(x)，∴F3(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F3(x)，∴F3(x)为偶函数，故C正确；令F4(x)＝f(|x|)g(x)，∴F4(－x)＝f(|－x|)g(－x)＝f(|x|)g(x)＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误.考点二函数奇偶性的应用角度1求函数值例2(2020·江苏卷改编)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x23，则f(－8)的值是()A.8B.－8C.4D.－4答案D解析f(8)＝823＝4，因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－4.角度2求函数解析式例3设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0时，f(x)＝()A.e－x－1B.e－x＋1C.－e－x－1D.－e－x＋1答案D解析当x0时，－x0，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.角度3求参数的值例4(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.答案1解析法一因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.法二因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－a2－2＝2a－12，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.感悟提升利用函数的奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求参数值；(4)画函数图象；(5)求一些特殊结构式的值.训练2(1)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________.(2)已知函数f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.答案(1)－7(2)4解析(1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.(2)令g(x)＝asinx＋btanx，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1.∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.考点三函数的周期性及其应用1.已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sinx2，则f2023π3等于()A.12B.32C.1D.3答案C解析因为f(x＋2π)＝f(x)，所以f(x)的周期为2π，所以f2023π3＝f674π＋π3＝f337×2π＋π3＝fπ3.又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sinx2，所以fπ3＝2sinπ6＝1.2.(2022·成都诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2024)等于()A.5B.12C.2D.－5答案D解析∵f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)的周期为4，f(2024)＝f(0)＝－f(2)＝－(22＋l