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第7节函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象――→关于x轴对称y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象――→关于y轴对称y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象――→关于原点对称y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a0，且a≠1)的图象――→关于直线y＝x对称y＝logax(a0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换y＝f(x)―――――――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍y＝f(ax).y＝f(x)―――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A0)倍y＝Af(x).(4)翻折变换y＝f(x)的图象――――――――――――――――→x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象――――――――――――――――――→y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变y＝f(|x|)的图象.1.函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称.2.函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x).3.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a2对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a0且a≠1)的图象相同.()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.2.下列图象是函数y＝x2，x0，x－1，x≥0的图象的是()答案C解析其图象是由y＝x2图象中x0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.3.(2021·昆明质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为()A.y＝f(|x|)B.y＝f(－|x|)C.y＝|f(x)|D.y＝－|f(x)|答案B解析观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|).4.(2021·天津卷)函数y＝ln|x|x2＋2的图象大致为()答案B解析设y＝f(x)＝ln|x|x2＋2，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(－x)＝ln|－x|（－x）2＋2＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A，C；当x∈(0，1)时，ln|x|＜0，x2＋1＞0，所以f(x)＜0，排除D.5.(易错题)设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________.答案－log2(x－1)解析与f(x)的图象关于y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)＝－log2(x－1)的图象.6.(2022·西安调研)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________.答案(2，8]解析当f(x)0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x∈(2，8].考点一作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝2|x|＋1；(2)y＝|lg(x－1)|；(3)y＝x2－|x|－2.解(1)将y＝2x的图象关于y轴作对称图象，取y≥1的部分得y＝2|x|的图象，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到y＝2|x|＋1的图象，如图①所示(实线部分).(2)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分).(3)y＝x2－|x|－2＝x2－x－2，x≥0，x2＋x－2，x0，函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示.感悟提升1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.训练1分别作出下列函数的图象：(1)y＝|x2－5x＋4|；(2)y＝2x－1x－1.解(1)令y＝x2－5x＋4＝0，解出两根为1，4，得到y＝x2－5x＋4的图象.将x轴以下的部分关于x轴作对称图形，得到y＝|x2－5x＋4|的图象，如图①所示(实线部分).(2)y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数的图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示.考点二函数图象的辨识1.函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()答案D解析∵f(－x)＝sin（－x）－xcos（－x）＋（－x）2＝－f(x)，且x∈[－π，π]，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝π－1＋π20，排除B，C，只有D满足.2.已知函数f(x)＝x2，x≥0，1x，x0，g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象是()答案D解析法一当x0时，－x0，所以g(x)＝－f(－x)＝1x，当x≤0时，－x≥0，g(x)＝－x2，从而根据函数的取值正负情况可知D正确.法二也可先画出f(x)的图象，再关于原点对称得g(x)的图象.3.已知函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，则函数y＝f(1－x)的大致图象是()答案D解析法一先画出函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象(图略)，故选D.法二由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝31－x，x≥0，log13（1－x），x0，故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.4.(2022·成都诊断)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)可以为()A.f(x)＝x3－3xB.f(x)＝ex－e－xxC.f(x)＝2x－xD.f(x)＝e|x|x答案A解析根据图象可知，函数f(x)为奇函数，以及函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且有一个零点，首先对4个选项进行奇偶性判断，可知f(x)＝ex－e－xx为偶函数不符合题意，排除B；其次在剩下的3个选项中，对其在(0，＋∞)上的零点个数进行判断，f(x)＝e|x|x在(0，＋∞)上无零点，排除D；f(x)＝2x－x在(0，＋∞)上单调递减，排除C.故选A.感悟提升1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.考点三函数图象的应用角度1研究函数的性质例2已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.角度2在不等式中的应用例3(1)若函数f(x)＝log2(x＋1)，且abc0，则f（a）a，f（b）b，f（c）c的大小关系为________.(2)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式f（x）－f（－x）x0的解集为________.答案(1)f（c）cf（b）bf（a）a(2)(－1，0)∪(0，1)解析(1)由题意可得，f（a）a，f（b）b，f（c）c分别看作函数f(x)＝log2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率.结合图象可知，当abc0时，f（a）af（b）bf（c）c.(2)因为f(x)为奇函数，所以不等式f（x）－f（－x）x0可化为f（x）x0，即xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示，所以原不等式的解集为(－1，0)∪(0，1).角度3求参数的取值范围例4(1)(2022·洛阳模拟)已知f(x)＝12|x|，x≤1，－x2＋4x－2，x1，若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.－∞，12∪[1，2)B.0，12∪[1，2)C.(1，2)D.[1，2)(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________.答案(1)B(2)(0，1)∪(9，＋∞)解析(1)关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，即f(x)的图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，作出f(x)的图象如图所示.由图象可得a的取值范围为0，12∪[1，2).(2)设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|.在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示.由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，且4个交点