第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第6节　对数与对数函数

第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数.1.对数的概念如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1，N0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝1logba(a0，且a≠1；b0，且b≠1).(2)logambn＝nmlogab(a0，且a≠1；b0；m，n∈R，且m≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.()(4)当x1时，若logaxlogbx，则ab.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误.(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误.(4)若0b1a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案C解析由题意知，4.9＝5＋lgV，得lgV＝－0.1，得V＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.(2021·天津卷)设a＝log20.3，b＝log120.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜c＜aD.a＜c＜b答案D解析∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0.∵log120.4＝－log20.4＝log252＞log22＝1，∴b＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b.4.(易错题)函数y＝loga(x－1)＋2(a0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.答案(2，2)解析当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).5.(易错题)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则xy＝________.答案4解析∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴lg(xy)＝lg(x－2y)2，∴x0，y0，x－2y0，xy＝（x－2y）2，即x2y，y0，（x－y）（x－4y）＝0，则x＝4y0，∴xy＝4.6.若函数y＝logax(a0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.答案2或12解析当0a1时，f(x)＝logax在[2，4]上单调递减，故f(x)max＝f(2)，f(x)min＝f(4)，则f(2)－f(4)＝loga12＝1，解得a＝12.当a1时，f(x)在[2，4]上单调递增，此时f(x)max＝f(4)，f(x)min＝f(2)，则f(4)－f(2)＝loga2＝1，解得a＝2.考点一对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝()A.116B.19C.18D.16答案B解析法一因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝19.法二因为alog34＝2，所以a＝2log34＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log49＝4log49－1＝9－1＝19.2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.1答案A解析依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得52lgE1E2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lgE1E2＝25.25×25＝10.1，即E1E2＝1010.1.3.(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则1a＋1b＝()A.－1B.lg7C.1D.log710答案C解析∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴1a＋1b＝1log210＋1log510＝lg2＋lg5＝lg10＝1.4.计算：（1－log63）2＋log62·log618log64＝________.答案1解析原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.感悟提升1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用例1(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0a1)的图象大致为()(2)若方程4x＝logax在0，12上有解，则实数a的取值范围为________.答案(1)A(2)0，22解析(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称.设g(x)＝loga|x|，先画出x0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.(2)若方程4x＝logax在0，12上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在0，12上有交点，由图象知0a1，loga12≤2，解得0a≤22.感悟提升对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质，函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.训练1(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a1，c1B.a1，0c1C.0a1，c1D.0a1，0c1(2)已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.答案(1)D(2)(1，＋∞)解析(1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0a1，∵图象与x轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0c1.(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a1.考点三解决与对数函数的性质有关的问题角度1比较大小例2(1)已知a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则()A.abcB.acbC.cbaD.cab(2)若实数a，b，c满足loga2logb2logc20，则下列关系中正确的是()A.abcB.bacC.cbaD.acb(3)(2021·衡水中学检测)已知a＝120.2，b＝log120.2，c＝ab，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.cabC.acbD.bca答案(1)D(2)C(3)B解析(1)∵0a1，b＝log213＝－log230，c＝log1213＝log231.∴cab.(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log2a1log2b1log2c0，即log2clog2blog2a0，可得cba1.故选C.(3)函数y＝12x与y＝log12x的图象关于直线y＝x对称，则0120.21log120.2，∴ab.又c＝ab＝120.2log120.2＝12log120.20.2＝0.20.2120.2＝a，所以bac.角度2解对数不等式例3(1)(2022·太原质检)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)－1的解集是________.(2)不等式loga(a2＋1)loga(2a)0，则a的取值范围是________.答案(1)(－∞，－2)∪0，12(2)12，1解析(1)设x0，则－x0，∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，∴f(x)＝log2x，x0，0，x＝0，－log2（－x），x0.当x0时，f(x)－1，即log2x－1＝log212，解得0x12.当x0时，f(x)－1，即－log2(－x)－1，则log2(－x)1＝log22，解得x－2.当x＝0时，f(x)＝0－1显然不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪0，12.(2)由题意得a0且a≠1，故必有a2＋12a.又loga(a2＋1)loga(2a)0，所以0a1，所以2a1，即a12.综上，12a1.角度3对数型函数性质的综合应用例4已知函数f(x)＝log212x＋a.(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.解(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数.所以a＝0.(2)若函数f(x)的定义域是一切实