第3章 导数及其应用 第3节　导数与函数的极值、最值

第3节导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.1.函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.()(2)函数的极大值一定大于其极小值.()(3)对可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为极值点.()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)函数f(x)在区间(a，b)可以存在最值.(2)函数的极大值也可能小于极小值.(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导函数值异号.2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.4答案A解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数值符号为左负右正.3.已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A.－4B.－2C.4D.2答案D解析由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.4.函数f(x)＝2x－xlnx的极值是()A.1eB.2eC.eD.e2答案C解析因为f′(x)＝2－(lnx＋1)＝1－lnx，令f′(x)0时，解得0xe；令f′(x)0时，解得xe，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.5.(易错题)函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有可变号零点，∴Δ＝(-2a)2－4×3×20，解得a6或a－6.6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________.答案－332解析f(x)＝2sinx＋sin2x的最小正周期为2π，所以只需考虑f(x)在[0，2π)上的最小值即可.f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2，令f′(x)＝0，得cosx＝12或cosx＝－1，则x＝π3，x＝5π3或x＝π，则函数f(x)在[0，2π)上的最小值只能在x＝0，x＝π3，x＝5π3和x＝π中取得，又因为f(0)＝0，fπ3＝332，f(π)＝0，f53π＝－332，所以函数f(x)＝2sinx＋sin2x的最小值为－332.考点一利用导数求函数的极值角度1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.f(x)有两个极值点B.f(－2)为函数的极大值C.f(x)有两个极小值D.f(－1)为f(x)的极小值答案C解析由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)0，∴f′(x)0，当x∈(－2，0)时，g(x)0，∴f′(x)0，当x∈(0，1)时，g(x)0，∴f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)0，∴f′(x)0，∴f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增.故ABD错误，C正确.感悟提升由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值.训练1(2022·石家庄检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是________(填上所有错误命题的序号).①－3是函数y＝f(x)的极值点；②－1是函数y＝f(x)的极小值点；③y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增；④－2是函数y＝f(x)的极大值点.答案②④解析根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增，可知－3是函数y＝f(x)的极值点，所以①正确.因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以②错误，③正确，④错误.角度2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值.解因为f(x)＝x2－1－2alnx(x0)，所以f′(x)＝2x－2ax＝2（x2－a）x.①当a0时，因为x0，且x2－a0，所以f′(x)0对x0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值.②当a0时，令f′(x)＝0，解得x1＝a，x2＝－a(舍去).所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以当x＝a时，f(x)取得极小值，且f(a)＝(a)2－1－2alna＝a－1－alna，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值.当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－1－alna，无极大值.角度3已知极值求参数的值(范围)例3(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________.(2)(2021·洛阳质检)已知函数f(x)＝x3－ax2＋427.若f(x)在(a－1，a＋3)上存在极大值，则a的取值范围是________.答案(1)11(2)(－9，0)∪(0，1)解析(1)f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由题意得f′（－1）＝0，f（－1）＝0，解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9.当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，∴f(x)在R上单调递增，∴f(x)无极值，所以a＝1，b＝3不符合题意，当a＝2，b＝9时，经检验满足题意.∴a＋b＝11.(2)f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2a3.当a＝0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)无极值，不合题意.当a0时，f(x)在x＝2a3处取得极小值，在x＝0处取得极大值，则a－10a＋3，又a0，所以0a1.当a0时，f(x)在x＝2a3处取得极大值，在x＝0处取得极小值，则a－12a3a＋3，又a0，所以－9a0.所以a的取值范围为(－9，0)∪(0，1).感悟提升1.根据极值求参数的取值范围就是根据极值点处导数为0，把问题转化为方程的根的求值或范围问题.2.导数值为零不是此点为极值点的充要条件，所以根据极值点的导数为零和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解后必须检验.训练2(1)若x＝1是函数f(x)＝ax＋lnx的极值点，则()A.f(x)有极大值－1B.f(x)有极小值－1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0(2)设a∈R，若函数y＝x＋alnx在区间1e，e上有极值点，则a的取值范围为________.答案(1)A(2)－e，－1e解析(1)∵f(x)＝ax＋lnx，x0，∴f′(x)＝a＋1x，由f′(1)＝0得a＝－1(经检验，满足题意)，∴f′(x)＝－1＋1x＝1－xx.由f′(x)0得0x1，由f′(x)0得x1，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴f(x)极大值＝f(1)＝－1，无极小值.(2)因为函数y＝f(x)＝x＋alnx在区间1e，e上有极值点，所以y′在区间1e，e上有可变号零点.f′(x)＝1＋ax(x0)在1e，e上单调，且f′1e·f′(e)0，所以(ea＋1)·1＋ae0，解得－ea－1e，所以a的取值范围为－e，－1e.考点二利用导数求函数的最值例4已知函数g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)，求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a).解g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝ax＋2x－(a＋2)＝2x2－（a＋2）x＋ax＝（2x－a）（x－1）x.(1)当a2≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；(2)当1a2e，即2a2e时，g(x)在1，a2上单调递减，在a2，e上单调递增，h(a)＝ga2＝alna2－14a2－a；(3)当a2≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.综上，h(a)＝－a－1，a≤2，alna2－14a2－a，2a2e，（1－e）a＋e2－2e，a≥2e.感悟提升1.若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值.2.若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.3.函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.4.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.训练3已知函数g(x)＝lnx－18x2＋b在区间[1，3]上的最小值为1，求g(x)在该区间上的最大值.解依题意知，g(x)的定义域为(0，＋∞).因为g(x)＝lnx－18x2＋b，所以对g(x)求导，得g′(x)＝1x－x4＝4－x24x＝（2－x）（2＋x）4x.当x∈(1，2)时，g′(x)0，当x∈(2，3)时，g′(x)0，所以g(x)在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，在区间[1，3]上，g(x)max＝g(2)＝ln2－12＋b.又g(1)＝－18＋b，g(3)＝ln3－98＋b，g(3)－g(1)＝ln3－10，所以g(x)min＝g(1)＝－18＋b＝1，解得b＝98，所以g(2)＝ln2＋58.于是函数g(x)在区间[1，3]上的最大值为g(2)＝ln2＋58.构造函数，巧妙解题以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，f（x）g（x）”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一