第4章 三角函数、解三角形 第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数

第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα1.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)锐角的取值范围是0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了________弧度.答案－2π33.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.答案{－675°，－315°}解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°＜0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°＜－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－31010，则y＝________.答案－3解析因为sinθ＝－310100，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y＝－3.5.(2022·安徽五校联考)已知角θ的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上有一点P(4sinθ，cosθ)，θ∈π，3π2，则tanθ＝________.答案12解析由题意知tanθ＝cosθ4sinθ＝14tanθ，故tanθ＝±12，又θ∈π，3π2，∴tanθ＝12.6.(2022·开封模拟)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.如图1，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面(如图2).当扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积的比值为5－12时，扇面形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径的比值为________.答案5－12解析设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有12θr2－12θr2112θr2＝5－12，即r2－r21r2＝5－12，所以r21r2＝3－52＝6－254＝5－122，所以r1r＝5－12.,考点一角的概念及其表示1.(2021·合肥期末)集合{α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角α所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k为偶数时，集合{α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}与απ4≤α≤π2表示的角终边相同，位于第一象限；当k为奇数时，集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z与α5π4≤α≤3π2表示的角终边相同，位于第三象限.2.若角α是第二象限角，则α2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角答案C解析因为α是第二象限角，所以π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角.所以α2是第一或第三象限角.3.终边在直线y＝3x上的角的集合为________答案αα＝π3＋kπ，k∈Z解析∵在(0，2π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，4π3，与π3，4π3终边相同的角分别为2kπ＋π3，2kπ＋4π3＝(2k＋1)π＋π3，k∈Z，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为αα＝π3＋kπ，k∈Z.感悟提升1.确定nα，αn(n∈N*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn的范围，然后根据n的可能取值讨论确定nα或αn的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法).2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.考点二弧度制及其应用例1(经典母题)一扇形的圆心角α＝π3，半径R＝10cm，求该扇形的面积.解由已知得α＝π3，R＝10，∴S扇形＝12α·R2＝12×π3×102＝50π3(cm2).迁移1(变所求)若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝12·l·R－12·R2·sinπ3＝12×10π3×10－12×102×32＝50π－7533(cm2).迁移2(变条件)若将本例已知条件改为：“扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0＜R＜10).所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练1(1)(2021·长沙质检)已知弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，则这条弧所在的圆的半径为()A.1B.2C.πD.2π(2)在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________，由该弧及半径围成的扇形的面积为________.答案(1)D(2)10π95π9解析(1)∵弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，∴4πr＝2，解得r＝2π，∴这条弧所在的圆的半径为2π.(2)单位圆半径r＝1，200°的弧度数是200×π180＝10π9.∴l＝10π9，S扇形＝12lr＝12×10π9×1＝5π9.考点三三角函数的定义及应用例2(1)(2021·成都诊断)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点.若A的横坐标为66，则()A.sinα＝66B.cos2α＝－23C.sin2α＝－53D.tan2α＝－52(2)sin2·cos3·tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在(3)已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，则cosα＝________，tanα＝________.答案(1)B(2)A(3)－64153或－153解析(1)由三角函数的定义，可得cosα＝66，则sinα＝±306，cos2α＝2cos2α－1＝－23，sin2α＝2sinαcosα＝±53，tan2α＝±52，所以选B.(2)∵1弧度约等于57°，2弧度约等于114°，∴sin2＞0.∵3弧度小于π弧度，在第二象限，∴cos3＜0.∵4弧度小于3π2弧度，大于π弧度，在第三象限，∴tan4＞0，∴sin2·cos3·tan4＜0.(3)设P(x，y)，由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，即r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5，当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝153.感悟提升1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练2(1)已知点P(cosα，tanα)在第三象限，则角α的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A.－45B.－35C.35D.45(3)函数y＝2cosx－1的定义域为________________.答案(1)B(2)B(3)2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)解析(1)由题意得cosα0，tanα0⇒cosα0，sinα0，所以角α的终边在第二象限.(2)设P(t，2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝t5|t|.当t＞0时，cosθ＝55；当t＜0时，cosθ＝－55.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.(3)∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z).1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)答案C解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B，易知D错误，C正确.2.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，③正确.－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，④正确.3.(2022·西安调研)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋1cosα＝()A.－15B.3715C.3720D.1315答案D解析因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα＋1cosα＝－45＋53＝1315.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A.2B.4C.6D.8答案C解析设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r2＝12×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.5.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为()A.αα＝k·2π－π4，k∈ZB.αα＝k·2π＋3π4，k∈